Question

【題目】如圖1，ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且AE∥BD，BE∥AC，OE＝CD．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）如圖2，若∠ADC＝60°，AD＝4，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2．

【解析】

（1）根據平行四邊形的性質和菱形的判定證明即可；

（2）由菱形的性質可得AD＝CD＝4，AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO，∠ADO＝30°，可求AO＝2，DO＝ AO＝2 ＝BO，由平行四邊形的性質可求AE的長．

證明：（1）∵AE∥BD，BE∥AC，

∴四邊形AEBO是平行四邊形，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴DC＝AB．

∵OE＝CD，

∴OE＝AB．

∴平行四邊形AEBO是矩形，

∴∠BOA＝90°．

∴AC⊥BD．

∴平行四邊形ABCD是菱形；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD＝CD＝4，AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO，∠ADO＝30°，

∴AO＝2，DO＝AO＝2＝BO，

∴四邊形OBEA是平行四邊形，

∴AE＝OB＝2