Question

【題目】某市政府大力扶持大學生創業．李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈．銷售過程中發現，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系可近似的看作一次函數： ．

（1）設李明每月獲得利潤為w（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？

（2）如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？

（3）根據物價部門規定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝進價×銷售量）

Answer 1

【答案】（1）35；（2）30或40；（3）3600.

【解析】試題分析：（1）由題意得，每月銷售量與銷售單價之間的關系可近似看作一次函數，利潤=（定價-進價）×銷售量，從而列出關系式；（2）令w=2000，然后解一元二次方程，從而求出銷售單價；根據拋物線的性質和圖象，求出每月的成本．

（1）由題意可得：

w=（x-20）y=（x-20）（-10x+500）=-10x2+700x-10000=-10（x-35）2+2250，

答：當銷售單價定為35元時，每月可獲得最大利潤．

（2）由題意可知：

-10x2+700x-10000=2000

解這個方程得：x1=30，x2=40．

∵a=-10＜0，

∴拋物線開口向下，

∴當30≤x≤40時，w≥2000，

∵x≤32，

∴當30≤x≤32時，w≥2000，

設成本為P（元），由題意，得：P=20（-10x+500）=-200x+10000，

∵a=-200＜0，

∴P隨x的增大而減小，

∴當x=32時，P最小=3600，

答：李明想要每月獲得2000元的利潤，銷售單價應定為30元或40元．想要每月獲得的利潤不低于2000元，每月的成本最少為3600元．