Question

已知：如圖，二次函數(shù)的圖象是由y=-x²向右平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位所得到．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸l上一動(dòng)點(diǎn)，求使AP+CP最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律即可得到新的二次函數(shù)的解析式和對(duì)稱軸；
（2）連接BC，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連接AP、AC．點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B （3，0），由幾何知識(shí)可知，PA+PC=PB+PC為最小，依此求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）二次函數(shù)的解析式：y=-（x-1）²+4，對(duì)稱軸為直線x=1；

（2）連接BC，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連接AP、AC．
要使PA+PC最小．
∵點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B（3，0），拋物線y=-x²+2x+3與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．
∴由幾何知識(shí)可知，PA+PC=PB+PC為最小
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3，將B（3，0）代入3k+3=0，得k=-1．
∴y=-x+3，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=2．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：二次函數(shù)圖象的幾何變換，重點(diǎn)是找出平移變換的關(guān)系，軸對(duì)稱-最短距離，兩點(diǎn)之間線段最短．