Question

已知：如圖，二次函數y=x²+（2k-1）x+k+1的圖象與x軸相交于O、A兩點．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）在這條拋物線的對稱軸右邊的圖象上有一點B，使銳角△AOB的面積等于3．求點B的坐標；
（3）對于（2）中的點B，在拋物線上是否存在點P，使∠POB=90°？若存在，求出點P的坐標，并求出△POB的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將原點坐標代入拋物線中即可求出k的值，也就得出了拋物線的解析式．
（2）根據（1）得出的拋物線的解析式可得出A點的坐標，也就求出了OA的長，根據三角形OAB的面積可求出B點縱坐標的絕對值，由于三角形AOB是銳角三角形那么B點必在x軸下方，根據這個條件可將不合題意的B點縱坐標舍去，然后將符合題意的B點縱坐標代入拋物線的解析式中即可求出B點的坐標，然后根據B點在拋物線對稱軸的右邊來判斷得出的B點是否符合要求即可．
（3）根據B點坐標可求出直線OB的解析式，由于OB⊥OP，因此兩直線的斜率的積為-1，由此可求出直線OP的解析式，聯立直線OP和拋物線的解析式，可得出P點的坐標．
求三角形POB的面積時，如果設直線BP與x軸的角度為Q的話，三角形POB的面積可分成三角形OBQ和三角形OPQ兩部分來求．可先求出直線BP的解析式即可的直線BP與x軸交點坐標，然后按上面分析的三角形BOP的面積計算方法進行求解即可．

解答：解：（1）∵y=x²+（2k-1）x+k+1過（0，0），
∴k+1=0，k=-1，
y=x²-3x．

（2）設B（x₀，y₀），
∵y=x²-3x的對稱軸為直線x=

3

2

∴x₀＞

3

2

，y₀＜0，
易知：A（3，0），即OA=3，
又∵

1

2

×OA•|y₀|=3
∴y₀=±2
當y₀=-2時，-2=x₀²-3x₀，
解得，x₀=2，x₀=1（舍去）；
∴B（2，-2）；

（3）當B（2，-2）時，直線OB的解析式為y=-x，
∵B0⊥PO，
∴直線0P的解析式為y=x，
∵兩函數相交
∴P₁（0，0）舍去，P₂（4，4）；
由勾股定理算出OB=2

2

，OP=4

2

，
S_△OPB=

1

2

×2

2

×4

2

=8．

點評：本題考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點、圖象面積求法等知識．