Question

一次函數y＝x的圖像如圖所示，它與二次函數y＝ax²－4ax＋c的圖像交于A、B兩點（其中點A在點B的左側），與這個二次函數圖像的對稱軸交于點C．

   （1）求點C的坐標；

   （2）設二次函數圖像的頂點為D．

①若點D與點C關于x軸對稱，且△ACD的面積等于3，求此二次函數的關系式；

②若CD＝AC，且△ACD的面積等于10，求此二次函數的關系式．

Answer 1

（1）y＝ax²－4ax＋c＝a(x－2)²－4a＋c．∴二次函數圖像的對稱軸為直線x＝2．

     當x＝2時，y＝x＝，∴C(2，)．

（2）①∵點D與點C關于x軸對稱，∴D(2，－，)，∴CD＝3.

設A(m，m) (m<2)，由S_△ACD＝3，得×3×(2－m)＝3，解得m＝0，∴A(0，0). 

由A(0，0)、 D(2，－)得 解得a＝，c＝0.

∴y＝x²－x. 

②設A(m，m)(m<2)，過點A作AE⊥CD于E，則AE＝2－m，CE＝－m，

∵CD＝AC，∴CD＝(2－m).

由S_△ACD＝10得×(2－m)²＝10，解得m＝－2或m＝6（舍去），∴m＝－2．

∴A(－2，－)，CD＝5.

若a＞0，則點D在點C下方，∴D(2，－)，

由A(－2，－)、D(2，－)得

∴y＝x²－x－3. 

若a＜0，則點D在點C上方，∴D(2，)，

由A(－2，－)、D(2，)得

∴y＝－x²＋2x＋.