Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，等腰直角三角形OAB的斜邊AO在x軸上，，點B的坐標為．

（1）求A點坐標；

（2）過B作軸于C，點D從B出發沿射線BC以每秒2個單位的速度運動，連接AD、OD，動點D的運動時間為t，的面積為S，求S與t的數量關系，并直接寫出t的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，當點D運動到x軸下方時，延長AB交y軸于E，過E作于H，在x軸正半軸上取點F，連接BF交EH于G，，當時，求點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣14，0）；（2）S；（3）D（﹣7，）或（﹣7，﹣21）．

【解析】

（1）作BH⊥OA于H．理由等腰直角三角形的性質求出OA即可解決問題；

（2）如圖2中，分兩種情形當0≤t時，當t時，分別求解即可解決問題；

（3）如圖3中，作BM∥AH交EH于N，BP⊥AD于P．理由相似三角形的性質證明EH=2AH，解直角三角形求出EH，AH，設H（m，n），構建方程組求出m，n，求出直線AH的解析式即可解決問題．

（1）作BH⊥OA于H．

∵BA=BO，∠ABO=90°，∴BH=AH=OH．

∵B（﹣7，7），∴AH=BH=OH=7，∴OA=14，∴A（﹣14，0）．

（2）如圖2中，當0≤t時，S14×（7﹣2t）=49﹣14t

當t時，S14×（2t﹣7）=14t﹣49．

綜上所述：S．

（3）如圖3中，作BM∥AH交EH于N，BP⊥AD于P．

∵BP⊥AH，EH⊥AH，∴BP∥EH．

∵AB=BE，∴AP=PH，∴PBEH．

∵BN∥AH，∴EN=NH，

∴BNAH，∠BNG=∠BPD=90°．

∵BM∥AH，∴∠BMF=∠MAH．

∵∠AFB=2∠OAD=∠FMB+∠FBM，

∴∠FBM=∠FMB=∠OAD．

∵∠OAD+∠ADC=90°，∠PBD+∠ADC=90°，

∴∠OAD=∠PBD，∴∠PBD=∠NBG．

∵∠BPD=∠BNG=90°，∴△BPD∽△BNG，

∴2，∴BP=2BN，∴EH=2AH．

在Rt△AEH中，∵AE=14，EH=2AH，

∴EH，AH，

設H（m，n），則有：，

解得或，

∴H（，）或（，）．

易求直線AH的解析式為yx或y=﹣3x﹣42，令x=－7，得：y=或﹣21，

∴D（﹣7，）或（﹣7，﹣21）．