Question

（2006•青島）如圖①，有兩個形狀完全相同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起（點A與點E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜邊上的中點．
如圖②，若整個△EFG從圖①的位置出發，以1cm/s的速度沿射線AB方向平移，在△EFG平移的同時，點P從△EFG的頂點G出發，以1cm/s的速度在直角邊GF上向點F運動，當點P到達點F時，點P停止運動，△EFG也隨之停止平移．設運動時間為x（s），FG的延長線交AC于H，四邊形OAHP的面積為y（cm²）（不考慮點P與G、F重合的情況）．

（1）當x為何值時，OP∥AC；
（2）求y與x之間的函數關系式，并確定自變量x的取值范圍；
（3）是否存在某一時刻，使四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13：24？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．（參考數據：114²=12996，115²=13225，116²=13456或4.4²=19.36，4.5²=20.25，4.6²=21.16）

Answer 1

【答案】分析：（1）由于O是EF中點，因此當P為FG中點時，OP∥EG∥AC，據此可求出x的值．
（2）由于四邊形AHPO形狀不規則，可根據三角形AFH和三角形OPF的面積差來得出四邊形AHPO的面積．三角形AHF中，AH的長可用AF的長和∠FAH的余弦值求出，同理可求出FH的表達式（也可用相似三角形來得出AH、FH的長）．三角形OFP中，可過O作OD⊥FP于D，PF的長易知，而OD的長，可根據OF的長和∠FOD的余弦值得出．由此可求得y、x的函數關系式．
（3）先求出三角形ABC和四邊形OAHP的面積，然后將其代入（2）的函數式中即可得出x的值．
解答：解：（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC
∴，
∴FG==3cm
∵當P為FG的中點時，OP∥EG，EG∥AC
∴OP∥AC
∴x==×3=1.5（s）
∴當x為1.5s時，OP∥AC．

（2）在Rt△EFG中，由勾股定理得EF=5cm
∵EG∥AH
∴△EFG∽△AFH
∴
∴AH=（x+5），FH=（x+5）
過點O作OD⊥FP，垂足為D

∵點O為EF中點
∴OD=EG=2cm
∵FP=3-x
∴S_{四邊形OAHP}=S_△AFH-S_△OFP
=•AH•FH-•OD•FP
=•（x+5）•（x+5）-×2×（3-x）
=x²+x+3（0＜x＜3）．

（3）假設存在某一時刻x，使得四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13：24
則S_{四邊形OAHP}=×S_△ABC
∴x²+x+3=××6×8
∴6x²+85x-250=0
解得x₁=，x₂=-（舍去）
∵0＜x＜3
∴當x=（s）時，四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13：24．
點評：本題是比較常規的動態幾何壓軸題，第1小題運用相似形的知識容易解決，第2小題同樣是用相似三角形建立起函數解析式，要說的是本題中說明了要寫出自變量x的取值范圍，而很多試題往往不寫，要記住自變量x的取值范圍是函數解析式不可分離的一部分，無論命題者是否交待了都必須寫，第3小題只要根據函數解析式列個方程就能解決．