Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD是菱形，AD=10，過點D作AB的垂線DH，垂足為H，交對角線AC于M，連接BM，且AH=6．

（1）求證：DM=BM；

（2）求MH的長；

（3）如圖2，動點P從點A出發，沿折線ABC方向以2個單位/秒的速度向終點C勻速運動，設△PMB的面積為S（S≠0），點P的運動時間為t秒，求S與t之間的函數關系式；

（4）在（3）的條件下，當點P在邊AB上運動時是否存在這樣的t值，使∠MPB與∠BCD互為余角，若存在，則求出t值，若不存，在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3；（3）①當P在AB之間時，S=-3t+15；②當P在BC之間時，S=5t-25；（4）t=1.

【解析】

（1）由菱形的性質得，∠ACD=∠ACB，CD=CB，根據“SAS”證明△DCM≌△BCM，然后根據全等三角形的性質可得DM=BM；

（2）根據勾股定理即可得到結論；

（3）由△BCM≌△DCM計算出BM=DM，分兩種情況計算即可；

（4）由菱形的性質判斷出△ADM≌△ABM，再判斷出△BMP是等腰三角形，即可．

解：（1）在Rt△ADH中，AD=10，AH=6，

∴DH=8，

∵AC是菱形ABCD的對角線，
∴∠ACD=∠ACB，CD=CB，

在△DCM和△BCM中，

，

∴△DCM≌△BCM（SAS），

∴DM=BM，

（2）在Rt△BHM中，BM=DM，HM=DH-DM=8-DM，BH=AB-AH=4，

根據勾股定理得，DM2-MH2=BH2，

即：DM2-（8-DM）2=16，

∴DM=5，

∴MH=3；

（3）在△BCM和△DCM中，

，

∴△BCM≌△DCM（SAS），

∴BM=DM=5，∠CDM=∠CBM=90°

①當P在AB之間時，S=（10-2t）×3=-3t+15；

②當P在BC之間時，S=（2t-10）×5=5t-25；

（4）存在，

∵∠ADM+∠BAD=90°，∠BCD=∠BAD，

∴∠ADM+∠BCD=90°，

∵∠MPB+∠BCD=90°，

∴∠MPB=∠ADM，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠DAM=∠BAM，

∵AM=AM，

∴△ADM≌△ABM（SAS），

∴∠ADM=∠ABM，

∴∠MPB=∠ABM，

∵MH⊥AB，

∴PH=BH=4，

∴BP=2BH=8，

∵AB=10，

∴AP=2，

∴t==1