Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）的頂點為M，直線y＝m與拋物線交于點A，B，若△AMB為等腰直角三角形，我們把拋物線上A，B兩點之間的部分與線段AB 圍成的圖形稱為該拋物線對應的準蝶形，線段AB稱為碟寬，頂點M 稱為碟頂．

（1）由定義知，取AB中點N，連結MN，MN與AB的關系是_____．

（2）拋物線y＝對應的準蝶形必經過B（m，m），則m＝_____，對應的碟寬AB是_____．

（3）拋物線y＝ax2﹣4a﹣（a＞0）對應的碟寬在x 軸上，且AB＝6．

①求拋物線的解析式；

②在此拋物線的對稱軸上是否有這樣的點P（xp，yp），使得∠APB為銳角，若有，請求出yp的取值范圍．若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）MN與AB的關系是：MN⊥AB，MN＝AB，（2）2，4；（3）①y＝x2﹣3；②在此拋物線的對稱軸上有這樣的點P，使得∠APB 為銳角，yp的取值范圍是yp＜﹣3或yp＞3．

【解析】

（1）直接利用等腰直角三角形的性質分析得出答案；

（2）利用已知點為B（m，m），代入拋物線解析式進而得出m的值，即可得出AB的值；

（3）①根據題意得出拋物線必過（3，0），進而代入求出答案；

②根據y＝x2﹣3的對稱軸上P（0，3），P（0，﹣3）時，∠APB 為直角，進而得出答案．

（1）MN與AB的關系是：MN⊥AB，MN＝AB，

如圖1，∵△AMB是等腰直角三角形，且N為AB的中點，

∴MN⊥AB，MN＝AB，

故答案為：MN⊥AB，MN＝AB；

（2）∵拋物線y＝對應的準蝶形必經過B（m，m），

∴m＝m2，

解得：m＝2或m＝0（不合題意舍去），

當m＝2則，2＝x2，

解得：x＝±2，

則AB＝2+2＝4；

故答案為：2，4；

（3）①由已知，拋物線對稱軸為：y軸，

∵拋物線y＝ax2﹣4a﹣（a＞0）對應的碟寬在x 軸上，且AB＝6．

∴拋物線必過（3，0），代入y＝ax2﹣4a﹣（a＞0），

得，9a﹣4a﹣＝0，

解得：a＝，

∴拋物線的解析式是：y＝x2﹣3；

②由①知，如圖2，y＝x2﹣3的對稱軸上P（0，3），P（0，﹣3）時，∠APB 為直角，

∴在此拋物線的對稱軸上有這樣的點P，使得∠APB 為銳角，yp的取值范圍是yp＜﹣3或yp＞3．