Question

【題目】A，B是⊙C上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P在⊙C的內(nèi)部．若∠APB為直角，則稱∠APB為AB關(guān)于⊙C的內(nèi)直角，特別地，當(dāng)圓心C在∠APB邊（含頂點(diǎn)）上時(shí)，稱∠APB為AB關(guān)于⊙C的最佳內(nèi)直角．如圖1，∠AMB是AB關(guān)于⊙C的內(nèi)直角，∠ANB是AB關(guān)于⊙C的最佳內(nèi)直角．在平面直角坐標(biāo)系xOy中．

（1）如圖2，⊙O的半徑為5，A（0，﹣5），B（4，3）是⊙O上兩點(diǎn)．

①已知P1（1，0），P2（0，3），P3（﹣2，1），在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B，中，是AB關(guān)于⊙O的內(nèi)直角的是　 　；

②若在直線y=2x+b上存在一點(diǎn)P，使得∠APB是AB關(guān)于⊙O的內(nèi)直角，求b的取值范圍．

（2）點(diǎn)E是以T（t，0）為圓心，4為半徑的圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，⊙T與x軸交于點(diǎn)D（點(diǎn)D在點(diǎn)T的右邊）．現(xiàn)有點(diǎn)M（1，0），N（0，n），對于線段MN上每一點(diǎn)H，都存在點(diǎn)T，使∠DHE是DE關(guān)于⊙T的最佳內(nèi)直角，請直接寫出n的最大值，以及n取得最大值時(shí)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①∠AP2B，∠AP3B；②﹣5＜b≤5；（2）n的最大值為2；t的取值范圍是﹣﹣1≤t＜5

【解析】

（1）判斷點(diǎn)P1，P2，P3是否在以AB為直徑的圓弧上即可得出答案；

（2）求得直線AB的解析式，當(dāng)直線y=2x+b與弧AB相切時(shí)為臨界情況，證明△OAH∽△BAD，可求出此時(shí)b=5，則答案可求出；

（3）可知線段MN上任意一點(diǎn)（不包含點(diǎn)M）都必須在以TD為直徑的圓上，該圓的半徑為2，則當(dāng)點(diǎn)N在該圓的最高點(diǎn)時(shí)，n有最大值2，再分點(diǎn)H不與點(diǎn)M重合，點(diǎn)M與點(diǎn)H重合兩種情況求出臨界位置時(shí)的t值即可得解．

解：（1）如圖1，

，，，

，，，

不在以為直徑的圓弧上，

故不是關(guān)于的內(nèi)直角，

，，，

，，，

，

，

是關(guān)于的內(nèi)直角，

同理可得，，

是關(guān)于的內(nèi)直角，

故答案為：，；

（2）是關(guān)于的內(nèi)直角，

，且點(diǎn)在的內(nèi)部，

滿足條件的點(diǎn)形成的圖形為如圖2中的半圓（點(diǎn)，均不能取到），

過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

，，

，，

并可求出直線的解析式為，

當(dāng)直線過直徑時(shí)，，

連接，作直線交半圓于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，交軸于點(diǎn)，

，，

，

，

是半圓的切線．

，，

，

，

，

，

，，

，

，

，直線的解析式為，

直線的解析式為，此時(shí)，

的取值范圍是．

（3）對于線段上每一個(gè)點(diǎn)，都存在點(diǎn)，使是關(guān)于的最佳內(nèi)直角，

點(diǎn)一定在的邊上，

，，線段上任意一點(diǎn)（不包含點(diǎn)都必須在以為直徑的圓上，該圓的半徑為2，

當(dāng)點(diǎn)在該圓的最高點(diǎn)時(shí)，有最大值，

即的最大值為2．

分兩種情況：

①若點(diǎn)不與點(diǎn)重合，那么點(diǎn)必須在邊上，此時(shí)，

點(diǎn)在以為直徑的圓上，

如圖3，當(dāng)與相切時(shí)，，

，，

，

，，，

，

，

，

，

當(dāng)與重合時(shí)，，

此時(shí)的取值范圍是，

②若點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，臨界位置有兩個(gè)，一個(gè)是當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，另一個(gè)是當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)的取值范圍是，

綜合以上可得，的取值范圍是．