Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E是BC邊上一點(diǎn)，連接DE，將矩形ABCD沿DE折疊，頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上點(diǎn)F處，延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．

（1）求線段BE的長(zhǎng)；

（2）連接CG，求證：四邊形CDFG是菱形；

（3）如圖2，P，Q分別是線段DG，CG上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且∠CPQ=∠CDP，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△CPQ是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出DP的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）存在，或

【解析】

（1）設(shè)，由矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)和勾股定理得出BF,EF的值，然后在中利用勾股定理即可求解；

（2）由矩形的性質(zhì)得出，然后根據(jù)平行線分線段成比例可求出BG的長(zhǎng)度，進(jìn)而可求出FG的長(zhǎng)度，則可證明結(jié)論；

（3）分兩種情況：和，分別利用等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定及性質(zhì)得出PG的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理求出DG的長(zhǎng)度，最后利用即可求解．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴ ．

由折疊的性質(zhì)可知， ，

，

，

．

設(shè)，則 ，

，

，

解得 ，

；

（2）證明：，

．

，

，

，

，

，

．

，

∴四邊形CDFG是平行四邊形．

∵，

∴四邊形CDFG是菱形；

（3）存在，理由如下：

①若，

∵四邊形CDFG是菱形，

∴ ，

．

，

．

，

，

．

，

．

，

，

；

②若，

過(guò)點(diǎn)P作交CG于點(diǎn)H，

，

．

，

，

．

，

．

∵四邊形CDFG是菱形，

∴ ．

，

，

，

，

，

，

綜上所述，DP的值為或．