Question

【題目】如圖，點的坐標為，點，分別在軸，軸的正半軸上運動，且，下列結論：

①

②當時四邊形是正方形

③四邊形的面積和周長都是定值

④連接，，則，其中正確的有（ ）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

過P作PM⊥y軸于M，PN⊥x軸于N，易得出四邊形PMON是正方形，推出OM=OM=ON=PN=2，證得△APM≌△BPN，可對①進行判斷，推出AM=BN，求出OA+OB=ON+OM=4，當OA=OB時，OA=OB=2，然后可對②作出判斷，由△APM≌△BPN可對四邊形OAPB的面積作出判斷，由OA+OB=4，然后依據AP和PB的長度變化情況可對四邊形OAPB的周長作出判斷，求得AB的最大值以及OP的長度可對④作出判斷．

過P作PM⊥y軸于M，PN⊥x軸于N，

∵P(2，2)，
∴PN=PM=2．
∵x軸⊥y軸，
∴∠MON=∠PNO=∠PMO=90°，

則四邊形MONP是正方形，
∴OM=ON=PN=PM=2，
∵∠MPN=∠APB=90°，
∴∠MPA=∠NPB．
在△MPA≌△NPB中，

，
∴△MPA≌△NPB，
∴PA=PB，故①正確．
∵△MPA≌△NPB，
∴AM=BN，
∴OA+OB=OA+ON+BN=OA+ON+AM=ON+OM=2+2=4．
當OA=OB，即OA=OB=2時，

則點A、B分別與點M、N重合，此時四邊形OAPB是正方形，故②正確．
∵△MPA≌△NPB，
∴．
∵OA+OB=4，PA=PB，且PA和PB的長度會不斷的變化，故周長不是定值，故③錯誤．
∵∠AOB+∠APB=180°，
∴點A、O、B、P共圓，且AB為直徑，所以AB≥OP，故④錯誤．
故選：A．