Question

【題目】如圖，在□ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，∠ABC的平分線交AD于點F，AE與BF相交于點O，連接EF

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝，求□ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）36

【解析】試題分析：（1）根據平行四邊形的性質和角平分線的性質得到四邊形ABEF是平行四邊形，然后再根據一組領邊相等的平行四邊形是菱形，證得結論；

（2）過點A作AH⊥BC于點H．根據菱形的對角線求出邊長，然后根據面積的不變性求出平行四邊形的高，從而求解.

試題解析：（1）證明：∵在□ABCD中，

∴AD∥BC．∴∠DAE＝∠AEB．

∵∠BAD的平分線交BC于點E，

∴∠DAE＝∠BAE．

∴∠BAE＝∠AEB．

∴AB＝BE．

同理AB＝AF．

∴AF＝BE．

∴四邊形ABEF是平行四邊形．

∵AB＝BE．

∴四邊形ABEF是菱形．

（2）解法一：過點A作AH⊥BC于點H．

∵四邊形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，

∴AE⊥BF，OE＝3，OB＝4．∴BE＝5．

∵S菱形ABEF＝AEBF＝BEAH，∴AH＝×6×8÷5＝．

∴S□ABCD＝BCAH＝(5＋)×＝36．

解法二：∵四邊形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，

∴AE⊥BF，OE＝3，OB＝4．∴BE＝5．

∵S菱形ABEF＝AEBF＝×6×8＝24，

∵CE＝，BE＝5，

∴S□ABCD＝S菱形ABEF ＝×24＝36．