Question

（2012•綿陽）如圖，PA、PB分別切⊙O于A、B，連接PO、AB相交于D，C是⊙O上一點，∠C=60°．
（1）求∠APB的大小；
（2）若PO=20cm，求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）由PA、PB分別切⊙O于A、B，由切線的性質，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圓周角定理，求得∠AOB的度數，繼而求得∠APB的大小；
（2）由切線長定理，可求得∠APO的度數，繼而求得∠AOP的度數，易得PO是AB的垂直平分線，然后利用三角函數的性質，求得AD與OD的長，繼而求得答案．

解答：解：（1）∵PA、PB分別切⊙O于A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠C=60°，
∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°，
∴∠APB=360°-∠PAO-∠PBO-∠AOB=60°；

（2）∵PA、PB分別切⊙O于A、B，
∴∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=

1

2

∠APB=

1

2

×60°=30°，PA=PB，
∴P在AB的垂直平分線上，
∵OA=OB，
∴O在AB的垂直平分線上，
即OP是AB的垂直平分線，
即OD⊥AB，AD=BD=

1

2

AB，
∵∠PAO=90°，
∴∠AOP=60°，
在Rt△PAO中，AO=

1

2

PO=

1

2

×20=10（cm），
在Rt△AOD中，AD=AO•sin60°=10×

3

2

=5

3

（cm），OD=OA•cos60°=10×

1

2

=5（cm），
∴AB=2AD=10

3

cm，
∴△AOB的面積為：

1

2

AB•OD=

1

2

×10

3

×5=25

3

（cm²）．

點評：此題考查了切線的性質、切線長定理、三角函數以及線段垂直平分線的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．