Question

（2008•河北）如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的邊FP也在直線l，邊EF與邊AC重合，且EF=FP．
（1）在圖1中，請你通過觀察、測量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數量關系和位置關系；
（2）將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點Q，連接AP，BQ．猜想并寫出BQ與AP所滿足的數量關系和位置關系，請證明你的猜想；
（3）將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點Q，連接AP，BQ．你認為（2）中所猜想的BQ與AP的數量關系和位置關系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圖形就可以猜想出結論．
（2）要證BQ=AP，可以轉化為證明Rt△BCQ≌Rt△ACP；要證明BQ⊥AP，可以證明∠QMA=90°，只要證出∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=90°即可證出．
（3）類比（2）的證明就可以得到，結論仍成立．
解答：解：（1）AB=AP；AB⊥AP；

（2）BQ=AP；BQ⊥AP．
證明：①由已知，得EF=FP，EF⊥FP，
∴∠EPF=45°．
又∵AC⊥BC，
∴∠CQP=∠CPQ=45°．
∴CQ=CP．
∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中，
BC=AC，∠BCQ=∠ACP=90°，CQ=CP，
∴△BCQ≌△ACP（SAS），
∴BQ=AP．
②如圖，延長BQ交AP于點M．
∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，
∴∠1=∠2．
∵在Rt△BCQ中，∠1+∠3=90°，又∠3=∠4，
∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°．
∴∠QMA=90°．
∴BQ⊥AP；

（3）成立．
證明：①如圖，∵∠EPF=45°，
∴∠CPQ=45°．
又∵AC⊥BC，
∴∠CQP=∠CPQ=45°．
∴CQ=CP．
∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中，
BC=AC，CQ=CP，∠BCQ=∠ACP=90°，
∴Rt△BCQ≌Rt△ACP．
∴BQ=AP．
②如圖③，延長QB交AP于點N，則∠PBN=∠CBQ．
∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，
∴∠BQC=∠APC．
∵在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°，
又∵∠CBQ=∠PBN，
∴∠APC+∠PBN=90°．
∴∠PNB=90°．
∴QB⊥AP．
點評：證明兩個線段相等可以轉化為證明三角形全等的問題．證明垂直的問題可以轉化為證明兩直線所形成的角是直角來解決．