Question

如圖1，AB是⊙O的直徑，射線BM⊥AB，垂足為B，點C為射線BM上的一個動點（C與B不重合），連接AC交⊙O于D，過點D作⊙O的切線交BC于E．
（1）在C點運動過程中，當DE∥AB時（如圖2），求∠ACB的度數；
（2）在C點運動過程中，試比較線段CE與BE的大小，并說明理由；
（3）∠ACB在什么范圍內變化時，線段DC上存在點G，滿足條件BC²=4DG•DC（請寫出推理過程）．

Answer 1

（1）如圖2：當DE∥AB時，連接OD，
∵DE是⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∵DE∥AB，
∴OD⊥AB；
又∵OD=OA，
∴∠A=45°，
又∵BM⊥AB，
∴∠OBE=90°，
∴在Rt△ABC中，∠ACB=45°；
即：當∠ACB=45°時，DE∥AB；
（本問證明的方法比較多，對于其它方法，只要是正確的，請參照給分）

（2）如圖1，連接BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BDA=∠BDC=90°，
∴∠ACB+∠CBD=90°，
∠EDB+∠CDE=90°；
又∵BM⊥AB，AB是⊙O的直徑，
∴MB是⊙O的切線，
又∵DE是⊙O的切線，
∴∠CBD=∠EDB，
∴∠ACB=∠CDE，
∴EC=ED，
∴BE=EC；

（3）假設在線段CD上存在點G，使BC²=4DG•DC，
由（2）知：BE=CE，
∴BC=2CE=2DE，
∴（2DE）²=4 DG•DC，從而DE²=DG•DC；
由于∠CDE是公共角，
∴△DEG∽△DCE，
∴∠ACB=∠DEG；
令∠ACB=x，∠DGE=y，
∴∠CDE=∠ACB=x，
∵C和B不重合，
∴BC＞0，
∴D和G就不能夠重合，但是，G可以和C重合，
∴要使線段CD上的G點存在，則要滿足：2x+y=180°且y≥x，因此x≤60°，
∴0°＜∠ACB≤60°時，滿足條件的G點存在．