Question

【題目】學習了正多邊形之后，小馬同學發現利用對稱、旋轉等方法可以計算等分正多邊形面積的方案．

（1）請聰明的你將下面圖①、圖②、圖③的等邊三角形分別割成2個、3個、4個全等三角形；

（2）如圖④，等邊△ABC邊長AB＝4，點O為它的外心，點M、N分別為邊AB、BC上的動點（不與端點重合），且∠MON＝120°，若四邊形BMON的面積為s，它的周長記為l，求最小值；

（3）如圖⑤，等邊△ABC的邊長AB＝4，點P為邊CA延長線上一點，點Q為邊AB延長線上一點，點D為BC邊中點，且∠PDQ＝120°，若PA＝x，請用含x的代數式表示△BDQ的面積S△BDQ．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2+2；（3）S△BDQx+．

【解析】

（1）根據要求利用全等三角形的判定和性質畫出圖形即可．

（2）如圖④中，作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，連接OB．證明△OEM≌△OFN（ASA），推出EM＝FN，ON＝OM，S△EOM＝S△NOF，推出S四邊形BMON＝S四邊形BEOF＝定值，證明Rt△OBE≌Rt△OBF（HL），推出BM+BN＝BE+EM+BF﹣FN＝2BE＝定值，推出欲求最小值，只要求出l的最小值，因為l＝BM+BN+ON+OM＝定值+ON+OM所以欲求最小值，只要求出ON+OM的最小值，因為OM＝ON，根據垂線段最短可知，當OM與OE重合時，OM定值最小，由此即可解決問題．

（3）如圖⑤中，連接AD，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．證明△PDF≌△QDE（ASA），即可解決問題．

解：（1）如圖1，作一邊上的中線可分割成2個全等三角形，

如圖2，連接外心和各頂點的線段可分割成3個全等三角形，

如圖3，連接各邊的中點可分割成4個全等三角形，

（2）如圖④中，作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，連接OB．

∵△ABC是等邊三角形，O是外心，

∴OB平分∠ABC，∠ABC＝60°∵OE⊥AB，OF⊥BC，

∴OE＝OF，

∵∠OEB＝∠OFB＝90°，

∴∠EOF+∠EBF＝180°，

∴∠EOF＝∠NOM＝120°，

∴∠EOM＝∠FON，

∴△OEM≌△OFN（ASA），

∴EM＝FN，ON＝OM，S△EOM＝S△NOF，

∴S四邊形BMON＝S四邊形BEOF＝定值，

∵OB＝OB，OE＝OF，∠OEB＝∠OFB＝90°，

∴Rt△OBE≌Rt△OBF（HL），

∴BE＝BF，

∴BM+BN＝BE+EM+BF﹣FN＝2BE＝定值，

∴欲求最小值，只要求出l的最小值，

∵l＝BM+BN+ON+OM＝定值+ON+OM，

欲求最小值，只要求出ON+OM的最小值，

∵OM＝ON，根據垂線段最短可知，當OM與OE重合時，OM定值最小，

此時定值最小，s＝×2×＝，l＝2+2++＝4+，

∴的最小值＝＝2+2．

（3）如圖⑤中，連接AD，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

∵△ABC是等邊三角形，BD＝DC，

∴AD平分∠BAC，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，

∵∠DEA＝∠DEQ＝∠AFD＝90°，

∴∠EAF+∠EDF＝180°，

∵∠EAF＝60°，

∴∠EDF＝∠PDQ＝120°，

∴∠PDF＝∠QDE，

∴△PDF≌△QDE（ASA），

∴PF＝EQ，

在Rt△DCF中，∵DC＝2，∠C＝60°，∠DFC＝90°，

∴CF＝CD＝1，DF＝，

同法可得：BE＝1，DE＝DF＝，

∵AF＝AC﹣CF＝4﹣1＝3，PA＝x，

∴PF＝EQ＝3+x，

∴BQ＝EQ﹣BE＝2+x，

∴S△BDQ＝BQDE＝（2+x）×＝x+．