Question

【題目】如圖①，將正方形ABOD放在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點D的坐標為（2，3），

（1）點B的坐標為 ；

（2）若點P為對角線BD上的動點，作等腰直角三角形APE，使∠PAE＝90°，如圖②，連接DE，則BP與DE的關系（位置與數量關系）是 ，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，再作等邊三角形APF，連接EF、FD，如圖③，在 P點運動過程中當EF取最小值時，此時∠DFE＝ °；

（4）在（1）的條件下，點 M在 x 軸上，在平面內是否存在點N，使以 B、D、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點B的坐標為（－3，2）；（2）BP與DE的關系是垂直且相等，證明詳見解析；（3）∠DFE＝ 150 °；（4）存在，點N坐標為（＋2，1）或（－＋2，1）或（－3，－1）或（－－3，－1）或（－1，5）

【解析】

（1）如圖，過點B作BE⊥x軸于E，過點D作DF⊥x軸于F，證明△BEO≌△OFD，則可得OF=BE，OE=FD，根據點D的坐標（2，3），可求得點B坐標；

（2）如圖，通過證明△ABP≌△ADE(SAS)，可得∠4=∠5，BP=DE，進而可證明∠BDE=90°，則，BP與DE垂直且相等得證；

（3）由等邊△APF和等腰直角△PAE，可知△AFE為等腰三角形，頂角為30°，且EF為底邊，所以當腰AF最小時，底邊EF則最小，故而AP垂直BD時，AF=AP此時取最小值，此時易證△AFE≌△PFD，故而∠AFE=∠PFD=75°，根據周角為360°，即可計算∠EFD的度數；

（4）分情況討論，①當BD為菱形的邊時，通過作圖構造直角三角形，使用勾股定理先求對應點M坐標，再根據菱形的性質及平移思想，求點N坐標；②當BD為菱形的對角線時，M與O重合，此時N與A重合，同樣構造直角三角形，使用勾股定理求解即可．

解（1）：過點B作BE⊥x軸于E，過點D作DF⊥x軸于F，

∵ABOD為正方形，O是坐標原點，點D的坐標為（2，3），

∴OB=OD，∠BE0=∠DFO，∠BOE=∠ODF，

∴△BEO≌△OFD，

∴OF=BE，OE=FD，

∴點B的坐標為（－3，2），

故答案為：（－3，2）；

（2）BP與DE的關系是：垂直且相等；

證明：如圖，

∵正方形ABOD，

∴∠BAD＝90°，AB＝AD，

∵∠PAE＝90°，

∴∠BAD－∠3＝∠PAE－∠3，

即∠1＝∠2，

∵AP＝AE，

∴△ABP≌△ADE(SAS)，

∴∠4＝∠5， BP＝DE，

∵∠4＋∠6＝90°，

∴∠5＋∠6＝90°，

即∠BDE=90°，

∴BP⊥DE，

∴BP與DE垂直且相等，

故答案為：垂直且相等；

（3）∵△APF為等邊三角形，△PAE為等腰直角三角形，且∠PAE=90°，

∴AF=AE，∠FAE=30°，

即△AFE為等腰三角形，且EF為底邊，

∴當EF最小時，AF=AE應該取最小值，即AP應當取最小值，

∵四邊形ABOD為矩形，BD為ABOD一條對角線，

∴當AP⊥BD時，EF有最小值，如下圖所示，

∴AP=PD=AE，∠PAD=∠APD=90°，

∴∠EAF=∠DPF=30°，

又∵AF=PF，

∴△AFE≌△PFE，

∴∠PFD=∠AFE=75°，

∴∠EFD=360°-75°-75°-60°=150°，

即，當EF取最小值時，∠DFE=150°，

故答案為：150；

（4）∵D（2，3）,

∴OD＝，

∴BD＝，

①當BD為菱形的邊時，

（Ⅰ）如圖，作BQ⊥x軸于Q，

MB＝BD＝，在Rt△BQM中根據勾股定理，可得M1（－3，0）、M2（－－3，0），

∵B向右平移5個單位再向上平移1個單位得到D，

∴N1（＋2，1）、N2（－＋2，1）；

（Ⅱ）如圖，作TP垂直x軸于P，

MD＝BD＝，在Rt△DPM中根據勾股定理，可得M3（＋2，0）、M4（－＋2，0），

∵D向左平移5個單位再向下平移1個單位得到B，

∴N3（－3，－1）、N4（－－3，－1）

②當BD為菱形的對角線時，M與O重合，此時N與A重合，

如圖，作AJ∥x軸交y軸于R，過點D作JK⊥x軸垂足為K，交AJ于點J，

易證△ALD≌△DKO，

∴JK=5，

在Rt△ARO中使用勾股定理，即可求N5（－1，5），

綜上所述，點N坐標為（＋2，1）或（－＋2，1）或（－3，－1）或（－－3，－1）或（－1，5）．