Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C（0，3）．

（1）求該拋物線所對應的函數關系式；
（2）設拋物線上的一個動點P的橫坐標為t（0＜t＜0），過點P作PD⊥BC于點D．
①求線段PD的長的最大值；②當BD=2CD時，求t的值；
（3）若點Q是拋物線的對稱軸上的動點，拋物線上存在點M，使得以B、C、Q、M為頂點的四邊形為平行四邊形，請求出所有滿足條件的點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：設拋物線所對應的函數關系式為y=ax2+bx+c

將A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c得 ，解得

∴拋物線所對應的函數關系式為y=﹣x2+2x+3；

（2）解：①過P作PN⊥x軸于點N，交BC于點E，如圖1，

設直線BC解析式為y=kx+b，

把B（3，0），C（0，3）代入y=kx+b得 ，解得：k=﹣1，b=3，

∴直線BC解析式為y=﹣x+3，

設點P的坐標為（t，﹣t2+2t+3），則E（t，﹣t+3），

∴PE=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，

∵OB=OC=3，

∴∠OBC=45°

∵PD⊥BC，

∴∠PED=45°，

∴△PDE為等腰直角三角形，

∴PD= PE= （﹣t2+3t）=﹣ ，

∴當t= 時，PD的最大值為 ；

②過D作DG⊥x軸于點G，如圖2，則DG∥OC

∴△BOC∽△BGD，

∴ ，

∵BD=2CD

∴BD：BC=2：3，

∴DG= OC=2，

∴點D的縱坐標為2，

把y=2代入y=﹣x+3得x=1，

∴D點坐標為（1，2），

設直線PD解析式為y=x+b

把D（1，2）代入上式得2=1+b，解得b=1

∴直線PD解析式為y=x+1，

解方程組 得 或 ，

∴P（2，3），

即當BD=2CD時，t的值為2；

（3）解：當四邊形BQCM為平行四邊形時，點Q向左平移1個單位可得到C點，則點B向左平移1個單位得到M點，

即M點的橫坐標為2，當x=2時，y=﹣x2+2x+3=3，此時M點的坐標為（2，3）；當四邊形BCQM為平行四邊形時，點C向右平移1個單位可得到Q點，則點B向右平移1個單位可得到M點，即M點的橫坐標為4，當x=4時，y=﹣x2+2x+3=﹣5，此時M點的坐標為（4，﹣5）；當四邊形BCMQ為平行四邊形時，點B向左平移2個單位可得到Q點，則點C向左平移2個單位得到M點，即M點的橫坐標為﹣1，當x=﹣2時，y=﹣x2+2x+3=﹣5，此時M點的坐標為（﹣2，﹣5），

綜上所述，滿足條件的M點的坐標為（2，3），（4，﹣5），（﹣2，﹣5）．

【解析】（1）利用待定系數法求拋物線解析式；（2）①過P作PN⊥x軸于點N，交BC于點E，如圖1，先利用待定系數法求出直線BC解析式為y=﹣x+3，設點P的坐標為（t，﹣t2+2t+3），則E（t，﹣t+3），所以PE=﹣t2+3t，再判定△PDE為等腰直角三角形得到PD= PE，所以PD= （﹣t2+3t），然后就利用二次函數的性質解決問題；②過D作DG⊥x軸于點G，如圖2，通過證明△BOC∽△BGD，利用相似比可求出DG=2，則點D的縱坐標為2，于是利用二次函數解析式可確定D點坐標，接著求出直線PD解析式為y=x+1，然后解方程組 可得到P點坐標，從而得到t的值；（3）討論：當四邊形BQCM為平行四邊形或四邊形BCQM為平行四邊形或四邊形BCMQ為平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質和點的平移坐標規律確定M點的橫坐標，再利用二次函數解析式確定M點的縱坐．