Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點E、F分別在邊AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于點O．下列結論：①∠DOC=90°，②OC=OE，③tan∠OCD= ，④S△ODC=S四邊形BEOF中，正確的有（ ）
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】C
【解析】解：

∵正方形ABCD的邊長為4，
∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°，
∵AE=BF=1，
∴BE=CF=4﹣1=3，
在△EBC和△FCD中，

∴△EBC≌△FCD（SAS），
∴∠CFD=∠BEC，
∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，
∴∠DOC=90°；
故①正確；
若OC=OE，
∵DF⊥EC，
∴CD=DE，
∵CD=AD＜DE（矛盾），
故②錯誤；
∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，
∴∠OCD=∠DFC，
∴tan∠OCD=tan∠DFC= = ，
故③正確；
∵△EBC≌△FCD，
∴S△EBC=S△FCD ，
∴S△EBC﹣S△FOC=S△FCD﹣S△FOC ，
即S△ODC=S四邊形BEOF ．
故④正確．
故選C．
由正方形ABCD的邊長為4，AE=BF=1，利用SAS易證得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的對應角相等，易證得①∠DOC=90°正確；②由線段垂直平分線的性質與正方形的性質，可得②錯誤；易證得∠OCD=∠DFC，即可求得③正確；由①易證得④正確．