Question

【題目】如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過點D作DE⊥BC于點E，且∠BDE=∠A．

（1）判斷DE與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若AC=16，tanA=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）DE為⊙O的切線；理由見解析；（2）5．

【解析】

（1）連接DO，BD，由∠BDE=∠A，∠A=∠ADO，得到∠ADO=∠EDB，再由圓周角定理得∠ADB=90°，得到∠ADO+∠ODB=90°，于是有∠ODB+∠EDB=90°，然后由切線的判定定理可判斷DE為⊙O的切線；

（2）由等角的余角相等得到∠ABD=∠EBD，由于BD⊥AC，得到△ABC為等腰三角形，所以AD=CD=AC=8，在Rt△ABD中利用正切定義可計算出BD的長，再由勾股定理計算出AB，從而得到⊙O的半徑．

解：（1）DE與⊙O相切．理由如下：

連接DO，BD，如圖，

∵∠BDE=∠A，∠A=∠ADO，

∴∠ADO=∠EDB，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADO+∠ODB=90°，

∴∠ODB+∠EDB=90°，即∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE為⊙O的切線；

（2）∵∠BDE=∠A，

∴∠ABD=∠EBD，而BD⊥AC，

∴△ABC為等腰三角形，

∴AD=CD=AC=8，

在Rt△ABD中，∵tanA==，

∴BD=×8=6，

∴AB==10，

∴⊙O的半徑為5．