Question

如圖，直線y=-x+4與兩坐標軸分別相交于A、B點，點M是線段AB上任意一點（A、B兩點除外），過M分別作MC⊥OA于點C，MD⊥OB于D．

（1）當點M在AB上運動時，你認為四邊形OCMD的周長是否發生變化并說明理由；
（2）當點M運動到什么位置時，四邊形OCMD的面積有最大值？最大值是多少？
（3）當四邊形OCMD為正方形時，將四邊形OCMD沿著x軸的正方向移動，設平移的距離為a（0＜a＜4），正方形OCMD與△AOB重疊部分的面積為S．試求S與a的函數關系式并畫出該函數的圖象．

Answer 1

分析：（1）設點M的橫坐標為x，則點M的縱坐標為-x+4（0＜x＜4，x＞0，-x+4＞0）用坐標表示線段的長度則：MC=|-x+4|=-x+4，MD=|x|=x，根據四邊形的周長計算方法計算即可發現，當點M在AB上運動時，四邊形OCMD的周長不發生變化，總是等于8．
（2）先用x表示四邊形的面積S_{四邊形OCMD}=-（x-2）²+4，再利用四邊形OCMD的面積是關于點M的橫坐標x（0＜x＜4）的二次函數，并且x=2，可知即當點M運動到線段AB的中點時，四邊形OCMD的面積最大且最大面積為4．
（3）結合（ 2 ），當0＜a≤2時，S=4-

1

2

a²=-

1

2

a²+4；當2≤a＜4時，S=

1

2

（4-a）²=

1

2

（a-4）²，作圖即可．注意該圖是分段函數．

解答：解：（1）設點M的橫坐標為x，則點M的縱坐標為-x+4（0＜x＜4，-x+4＞0），
則：MC=|-x+4|=-x+4，MD=|x|=x，
∴C_{四邊形OCMD}=2（MC+MD）=2（-x+4+x）=8，
∴當點M在AB上運動時，四邊形OCMD的周長不發生變化，總是等于8．

（2）根據題意得：S_{四邊形OCMD}=MC•MD=（-x+4）•x=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴四邊形OCMD的面積是關于點M的橫坐標x（0＜x＜4）的二次函數，并且當x=2，
即當點M運動到線段AB的中點時，四邊形OCMD的面積最大且最大面積為4．



（3）如圖（ 2 ），當0＜a≤2時，S=S_{四邊形O′CMD}-S_△MEF=4-

1

2

a²⁼-

1

2

a²+4，
如圖（3），當2≤a＜4時，S=S_△O′AF=

1

2

（4-a）²=

1

2

（a-4）²，
∴S與a的函數的圖象如下圖所示．

點評：本題結合四邊形的性質考查二次函數的綜合應用，有關函數和幾何圖形的綜合題目，要利用幾何圖形的性質和二次函數的性質把數與形有機地結合在一起，利用題中所給出的面積和周長之間的數量關系求解．