Question

【題目】我國古代數學的許多發現都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一大重要研究成果．如圖所示的三角形數表，稱“楊輝三角”．具體法則：兩側的數都是1，其余每個數均為其上方左右兩數之和，它給出了（a+b）n（n為正整數）的展開式（按a的次數由大到小的順序排列）的系數規律：

（1）根據上面的規律，寫出（a+b）5的展開式；

（2）利用上面的規律計算：（﹣3）4+4×（﹣3）3×2+6×（﹣3）2×22+4×（﹣3）×23+24．

Answer 1

【答案】（1）（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）1.

【解析】

（1）根據上面的規律，按a的次數由大到小的順序判斷出各是多少，寫出（a+b）5的展開式即可；

（2）利用上面的規律，（-3）4+4×（-3）3×2+6×（-3）2×22+4×（-3）×23+24=（-3+2）4，據此求出算式的值是多少即可．

解：（1）根據規律可得：（a+b）5首項a的次數是5次方，b為0次方，后續每項a的次數減少1而b的次數增加1，每項的系數根據規律則依次為為1，1+4=5，4+6=10，6+4=10，4+1=5，1，根據以上規律，則（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；

（2）由題知：，

對比（﹣3）4+4×（﹣3）3×2+6×（﹣3）2×22+4×（﹣3）×23+24

可知a=-3，b=2，

則原式＝（﹣3+2）4＝1.