Question

【題目】在平面直角坐標系中，一次函數y=kx+b的圖象與x軸、y軸分別相交于A（﹣3，0），B（0，﹣3）兩點，二次函數y=x2+mx+n的圖象經過點A．

（1）求一次函數y=kx+b的解析式；
（2）若二次函數y=x2+mx+n圖象的頂點在直線AB上，求m，n的值；
（3）當﹣3≤x≤0時，二次函數y=x2+mx+n的最小值為﹣4，求m，n的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：A（﹣3，0），B（0，﹣3）代入y=kx+b得

，解得 ，

∴一次函數y=kx+b的解析式為：y=﹣x﹣3

（2）

解：二次函數y=x2+mx+n圖象的頂點為（﹣ ， ）

∵頂點在直線AB上，

∴ = ﹣3，

又∵二次函數y=x2+mx+n的圖象經過點A（﹣3，0），

∴9﹣3m+n=0，

∴組成方程組為

解得 或

（3）

解：∵二次函數y=x2+mx+n的圖象經過點A．

∴9﹣3m+n=0，

∵當﹣3≤x≤0時，二次函數y=x2+mx+n的最小值為﹣4，

①如圖1，當對稱軸﹣3＜﹣ ＜0時

最小值為 =﹣4，與9﹣3m+n=0，組成方程組為

解得 或 （由﹣3＜﹣ ＜0知不符合題意舍去）

所以 ．

②如圖2，當對稱軸﹣ ＞0時，在﹣3≤x≤0時，x為0時有最小值為﹣4，

把（0，﹣4）代入y=x2+mx+n得n=﹣4，

把n=﹣4代入9﹣3m+n=0，得m= ．

∵﹣ ＞0，

∴m＜0，

∴此種情況不成立，

③當對稱軸﹣ =0時，y=x2+mx+n的最小值為﹣4，

把（0，﹣4）代入y=x2+mx+n得n=﹣4，

把n=﹣4代入9﹣3m+n=0，得m= ．

∵﹣ =0，

∴m=0，

∴此種情況不成立，

④當對稱軸﹣ ≤﹣3時，最小值為0，不成立

綜上所述m=2，n=﹣3．

【解析】（1）利用待定系數法求出解析式，（2）先表示出二次函數y=x2+mx+n圖象的頂點，利用直線AB列出式子，再與點A在二次函數上得到的式子組成方程組求得m，n的值，（3）本題要分四種情況①當對稱軸﹣3＜﹣ ＜0時，②當對稱軸﹣ ＞0時，③當對稱軸﹣ =0時，④當對稱軸﹣ ≤﹣3時，結合二次函數y=x2+mx+n的圖象經過點A得出的式子9﹣3m+n=0，求出m，n但一定要驗證是否符合題意．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．