Question

某公司有A型產品40件，B型產品60件，分配給下屬甲，乙兩個商店銷售，其中70件給甲店，30件給乙店，且都能賣完，兩商店銷售這兩種產品每件的利潤（元）如下表：

	A型利潤	B型利潤
甲店	200	170
乙店	160	150

（1）設分配給甲店A型產品x件；
①甲店B型產品有

（70-x）

件；
乙店A型產品有

（40-x）

件，B型產品有

（x-10）

件．
②這家公司賣出這100件產品的總利潤為W（元），求W關于x的函數關系式，并求出x的是取值范圍．
（2）公司決定對甲店A型產品降價銷售，每件利潤減少a元，但降價后A型產品的每件利潤仍高于甲店B型產品的每件利潤，甲店的B型產品以及乙店的A，B型產品的每件利潤不變，問該公司又如何設計分配方案，使總利潤達到最大？

Answer 1

分析：（1）根據A型、B型產品的數量關系就可以分別表示出甲店B型產品的件數，乙店A型產品的件數和B型產品的件數．根據總利潤等于甲店A型產品的利潤+甲店B型產品的利潤+乙店A型產品的利潤+乙店B型產品的利潤就可以表示總利潤，再根據條件建立不等式組就可以求出x的取值范圍；
（2）根據讓利后A型產品的每件利潤仍高于甲店B型產品的每件利潤可得a的取值，結合（1）得到相應的總利潤，根據a的不同取值得到利潤的函數應得到的最大值的方案即可．

解答：解：（1）①設分配給甲店A型產品x件，則有
70-x，40-x，x-10，x-10
②由題意，得
W=200x+170（70-x）+160（40-x）+150（x-10）
=20x+16800．
則

x≥0 70-x≥0 40-x≥0 x-10≥0

，
解得：10≤x≤40．    
故答案為：70-x，40-x，

（2）依題意得：200-a＞170，
a＜30，
W=（200-a）x+170（70-x）+160（40-x）+150（x-10），
=（20-a）x+16800．  
①當0＜a＜20時，20-a＞0，W隨x的增大而增大，
∵10≤x≤40，
∴x=40，即甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件，能使總利潤達到最大．   
②當a=20時，20-a=0，W的值為16800，在x的取值范圍內，與x的大小沒有關系．
10≤x≤40，符合題意的各種方案，使總利潤都一樣．
③當20＜a＜30時，20-a＜0，W隨x的增大而減小，
∵10≤x≤40，
∴x=10，即甲店A型10件，B型60件，乙店A型30件，B型0件，能使總利潤達到最大．

點評：本題考查了一次函數的應用及不等式組的解法；首先要得到分配給甲乙兩店的不同型號的產品的數量；然后需要得到總利潤的關系式；最后根據a的不同取值得到相應的最大利潤是解決本題的難點．