Question

某公司有A型產品40件，B型產品60件，分配給下屬甲、乙兩個商店銷售，其中70件給甲店，30件給乙店，且都能賣完．兩商店銷售這兩種產品每件的利潤（元）如下表：

	A型利潤	B型利潤
甲店	200	170
乙店	160	150

（1）設分配給甲店A型產品x件，這家公司賣出這100件產品的總利潤為W（元），求W關于x的函數關系式，并求出x的取值范圍；
（2）若公司要求總利潤不低于17560元，說明有多少種不同分配方案，并將各種方案設計出來；
（3）為了促銷，公司決定僅對甲店A型產品讓利銷售，每件讓利a元，但讓利后A型產品的每件利潤仍高于甲店B型產品的每件利潤．甲店的B型產品以及乙店的A，B型產品的每件利潤不變，問該公司又如何設計分配方案，使總利潤達到最大？

Answer 1

分析：（1）首先設甲店B型產品有（70-x），乙店A型有（40-x）件，B型有（x-10）件，列出不等式方程組求解即可；
（2）由（1）可得幾種不同的分配方案；
（3）依題意得出W與a的關系式，解出不等式方程后可得出使利潤達到最大的分配方案．

解答：解：依題意，分配給甲店A型產品x件，則甲店B型產品有（70-x）件，乙店A型有（40-x）件，B型有{30-（40-x）}件，則
（1）W=200x+170（70-x）+160（40-x）+150（x-10）=20x+16800．
由

x≥0 70-x≥0 40-x≥0 x-10≥0

，解得10≤x≤40．

（2）由W=20x+16800≥17560，
∴x≥38．
∴38≤x≤40，x=38，39，40．
∴有三種不同的分配方案．
方案一：x=38時，甲店A型38件，B型32件，乙店A型2件，B型28件；
方案二：x=39時，甲店A型39件，B型31件，乙店A型1件，B型29件；
方案三：x=40時，甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件．

（3）依題意：200-a＞170，即a＜30，
W=（200-a）x+170（70-x）+160（40-x）+150（x-10）=（20-a）x+16800，（10≤x≤40）．
①當0＜a＜20時，20-a＞0，W隨x增大而增大，
∴x=40，W有最大值，
即甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件，能使總利潤達到最大；
②當a=20時，10≤x≤40，W=16800，符合題意的各種方案，使總利潤都一樣；
③當20＜a＜30時，20-a＜0，W隨x增大而減小，
∴x=10，W有最大值，
即甲店A型10件，B型60件，乙店A型30件，B型0件，能使總利潤達到最大．

點評：本題考查一元一次不等式組的應用，將現實生活中的事件與數學思想聯系起來，讀懂題意，
（1）根據A型、B型產品都能賣完，列出不等式關系式即可求解；
（2）由（2）關系式，結合總利潤不低于17560元，列不等式解答；
（3）根據a的不同取值范圍，代入利潤關系式解答．