Question

已知：如圖，圖1是△ABC，圖2是“8字形”（將線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB形成的圖形），圖3是一個五角星形狀，試解答下列問題：

（1）圖1的△ABC中，∠A+∠B+∠C=

180°

，并證明你寫出的結論；（要有推理證明過程）
（2）圖2的“8字形”中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系：

∠A+∠D=∠C+∠B

；
（3）若在圖2的條件下，作∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N（如圖4）．請直接寫出∠P與∠D、∠B之間數量關系：

∠P=

1

2

（∠D+∠B）

；
（4）圖3中的點A向下移到線段BE上時，請直接寫出∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=

180°

．

Answer 1

分析：（1）先過A點作EF∥BC，根據兩直線平行，內錯角相等得出∠B=∠EAB，∠C=∠CAF，再根據∠EAB+∠A+∠CAF=180°，即可證出∠A+∠B+∠C的度數；
（2）根據三角形內角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；
（3）根據角平分線的性質得出∠1=∠2，∠3=∠4，再根據對頂角的性質，得出∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，即可得出∠D-∠P=∠P-∠B，最后進行整理即可．
（4）根據兩個內角之和等于和它不相鄰的一個外角得出∠CAD+∠D=∠CFG，∠B+∠E=∠CGF，再根據三角形內角和定理，即可得出答案．

解答：解：（1）過A點作EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠B=∠EAB，∠C=∠CAF，
∵∠EAB+∠A+∠CAF=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°；

（2）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，
又∵∠AOD=∠BOC（對頂角相等），
∴∠A+∠D=∠C+∠B；

（3）∵AP、CP是∠DAB、∠BCD的平分線，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，
∴∠D-∠P=∠P-∠B，
∴∠P=

1

2

（∠D+∠B）；


（4）∵∠CAD+∠D=∠CFG，∠B+∠E=∠CGF，
又∵∠C+∠CFG+∠CGF=180°，
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；
故答案為：180°，∠A+∠D=∠C+∠B，∠P=

1

2

（∠D+∠B），180°．

點評：此題考查了三角形內角和定理和三角形的外交的性質，掌握三角形的內角和定理以及角平分線的定義以及三角形的外交的性質是本題的關鍵．