Question

【題目】如圖所示，1925年數學家莫倫發(fā)現的世界上第一個完美長方形，它恰能被分割成10個大小不同的正方形，其中標注1、2的正方形邊長分別為x、y，請你計算：

（1）第3個正方形的邊長=；第5個正方形的邊長=；第10個正方形的邊長= ． （用含x、y的代數式表示）
（2）當x=2時，第9個正方形的面積= ．
（3）當x、y均為正整數時，求這個完美長方形的最小周長．

Answer 1

【答案】
（1）x+y；x+3y；3y﹣3x
（2）100
（3）解：假設正方形1的邊長為x，正方形2的邊長為y，正方形3的邊長為x+y，正方形4的邊長為x+2y，正方形5的邊長為x+3y，正方形6的邊長x+3y+（y﹣x）=4y，正方形7的邊長為4y﹣x，正方形8的邊長為4y﹣x+3y﹣3x=7y﹣4x，正方形9的邊長為10y﹣7x，正方形10的邊長為4y﹣x﹣x﹣x﹣y=3y﹣3x，完美長方形存在如下關系 x+3y+4y=7y﹣4x+10y﹣7x 即可得出y=1.2x

完美長方形周長=2（x+3y+4y+x+2y+x+3y+10y﹣7x）=2（22y﹣4x）=44.8x

由于xy均為正整數，所以x=5，y=6，此時完美長方形的周長為44.8x=44.8×5=224．

答：這個完美長方形的最小周長為224

【解析】解：（1）第1、2的正方形邊長分別為x、y，則第3個正方形的邊長=x+y；第4個正方形的邊長=x+y+y=x+2y；第5個正方形的邊長=x+2y+y=x+3y；第6正方形的邊長=x+3y+y﹣x=4y；第7正方形的邊長=4y﹣x；第10正方形的邊長=4y﹣x﹣﹣x（x+y）=3y﹣3x；
所以答案是：x+y，x+3y，3y﹣3x．（2）第9正方形的邊長=x+y+x+2y﹣（3y﹣3x）=5x，
當x=2時，第9正方形的邊長=5x=10，
所以第9正方形的面積為100；
所以答案是：100（3）假設正方形1的邊長為x，正方形2的邊長為y，正方形3的邊長為x+y，正方形4的邊長為x+2y，正方形5的邊長為x+3y，正方形6的邊長x+3y+（y﹣x）=4y，正方形7的邊長為4y﹣x，正方形8的邊長為4y﹣x+3y﹣3x=7y﹣4x，正方形9的邊長為10y﹣7x，正方形10的邊長為4y﹣x﹣x﹣x﹣y=3y﹣3x，完美長方形存在如下關系 x+3y+4y=7y﹣4x+10y﹣7x 即可得出y=1.2x
完美長方形周長=2（x+3y+4y+x+2y+x+3y+10y﹣7x）=2（22y﹣4x）=44.8x
由于xy均為正整數，所以x=5，y=6，此時完美長方形的周長為44.8x=44.8×5=224．
答：這個完美長方形的最小周長為224
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解代數式求值的相關知識，掌握求代數式的值，一般是先將代數式化簡，然后再將字母的取值代入；求代數式的值，有時求不出其字母的值，需要利用技巧，“整體”代入．