Question

【題目】已知Rt△ABC≌Rt△ADE，其中∠ACB=∠AED=90°．
（1）將這兩個三角形按圖①方式擺放，使點E落在AB上，DE的延長線交BC于點F．求證：BF+EF=DE；
（2）改變△ADE的位置，使DE交BC的延長線于點F（如圖②），則（1）中的結論還成立嗎？若成立，加以證明；若不成立，寫出此時BF、EF與DE之間的等量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖①，連接AF，

∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC=AE，BC=DE，
∵ACB=AEF=90，AF=AF，
∴Rt△ACF≌Rt△AEF，
∴CF=EF，
∴BF+EF=BF+CF=BC，
∴BF+EF=DE.

（2）解：（1）中的結論不成立，有DE=BF-EF，理由如下：
如圖②，連接AF，

∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC=AE，BC=DE，
∵E=ACF=90，AF=AF，
∴Rt△ACF≌Rt△AEF，
∴CF=EF，
∴DE=BC=BF-FC=BF-EF，
即DE=BF-EF.

【解析】（1）由Rt△ABC≌Rt△ADE得AC=AE，根據HL可證得Rt△ACF≌Rt△AEF，由BC=BF+CF代入可得結論；（2）同（1）證明Rt△ACF≌Rt△AEF，再由BC=BF-FC得出結論.