Question

6．如圖，BD和CD分別平分△ABC的內角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，連接AD．
（1）求證：∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC；
（2）若AB=AC，請判斷△ABD的形狀，并證明你的結論；
（3）在（2）的條件下，若AF=BF，求∠EBA的大小．

Answer 1

分析 （1）根據角平分線的定義得到∠BDC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠BDC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC，等量代換即可得到結論；
（2）作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H根據角平分線的性質得到DM=DH，DN=DH，等量代換得到DM=DN，根據三角形的內角和得到∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，推出∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB，由等腰三角形的性質得到∠ABC=∠ACB，等量代換得到∠GAD=∠ABC，推出AD∥BC，由平行線的性質得到∠ADB=∠DBC，證得∠ABD=∠ADB，即可得到結論；
（3）根據等腰三角形的性質得到∠BAF=∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABC，根據三角形的內角和即可得到結論．

解答 解：（1）∵BD、CD分別平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，
∴∠BDC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，
∴∠BDC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC．

（2）△ABD為等腰三角形，證明如下：
作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H
∵BD、CD分別平分∠EBA、∠ECA，
∴DM=DH，DN=DH，
∴DM=DN，
∴AD平分∠CAG，即∠GAD=∠CAD，
∵∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠GAD=∠ABC，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
又∵∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴△ABD為等腰三角形；

（3）∵AF=BF，
∴∠BAF=∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，
∴$\frac{5}{2}$∠ABC=180°，
∴∠ABC=72°．

點評 本題考查了等腰三角形的判定和性質，角平分線的性質，三角形的內角和，三角形的外角的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．