Question

已知關于x的方程x²-7x+k=0（*）．
（1）請你選擇一個合適的整數k，使得到的方程有兩個不相等的實數根，并說明它的正確性．
（2）如果方程（*）的兩個實數根x₁，x₂的值恰好是一個菱形的兩條對角線長且滿足x12x22-x12-x22-2x1x2=95，求該菱形的面積．

Answer 1

分析：（1）根據根的判別式的意義得到當△=49-4k≥0時，方程有兩個不相等的實數根，解不等式得到k的取值范圍，然后在此范圍內取一整數即可；
（2）根據根與系數的關系得到x₁+x₂=7，x₁x₂=k（k＞0），再變形得到x12x22-x12-x22-2x1x2=（x₁x₂）²-（x₁+x₂）²，則k²-7²=95，解得k₁=12，k₂=-12，根據題意得到k=12，然后根據菱形的面積公式進行計算即可．

解答：解：（1）根據題意當△=49-4k≥0時，方程有兩個不相等的實數根，
解得k≤

49

4

，
所以k取整數0時滿足條件；

（2）根據題意得x₁+x₂=7，x₁x₂=k（k＞0）．
∵x12x22-x12-x22-2x1x2=（x₁x₂）²-（x₁+x₂）²，
∴k²-7²=95，
解得k₁=12，k₂=-12，
∵k≤

49

4

，且k＞0，
∴k=12，
∴菱形的面積=

1

2

x₁x₂=

1

2

×12=6．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程的根的判別式和菱形的性質．