Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數的圖象相交于兩點，過點作軸于點，，，點的坐標為．

（1）求一次函數和反比例函數的表達式；

（2）求的面積；

（3）是軸上一點，且是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點坐標．

Answer 1

【答案】（1），；（2）9；（3）點坐標為（0，5）或（0，-5）或（0，8）或

【解析】

（1）先根據勾股定理求出OD=3，AD=4，得出點A（3，4），進而求出反比例函數解析式，再求出點B坐標，最后用待定系數法求出直線AB解析式；

（2）求出直線AB與y軸的交點坐標，再根據解答即可；

（3）設出點P坐標，進而表示出OP，AP，OA，利用等腰三角形的兩邊相等建立方程求解即可得出結論．

（1）∵，

∴設，則，

，

∴，

∴，，

∴點的坐標為（3，4），

∵過點，

∴，

∴，當時，，

∴點坐標為（-6，-2），

∵直線過，

∴ 解得

∴直線解析式為．

（2）如圖，記直線與軸交于點，

對于，當時，，

∴點坐標為（0，2），

∴．

（3）設點P（0，m），

∵A（3，4），O（0，0），

∴OA=5，OP=|m|，AP=，

∵△AOP是等腰三角形，

∴①當OA=OP時，

∴|m|=5，

∴m=±5，

∴P（0，5）或（0，-5），

②當OA=AP時，

∴5=，

∴m=0（舍）或m=8，

∴P（0，8），

③OP=AP時，

∴|m|=，

∴m=，

∴P（0，），

即：當P點坐標為（0，8），（0，5），（0，-5）或（0，）時，△AOP是等腰三角形．