Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在圓上，且四邊形AOCD是平行四邊形，過點D作⊙O的切線，分別交OA的延長線與OC的延長線于點E，F，連接BF.

（1）求證：BF是⊙O的切線；

（2）已知圓的半徑為1，求EF的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）EF=2.

【解析】試題分析：(1)、先證明四邊形AOCD是菱形，從而得到∠AOD=∠COD=60°，再根據切線的性質得∠FDO=90°，接著證明△FDO≌△FBO得到∠ODF=∠OBF=90°，然后根據切線的判定定理即可得到結論；(2)、在Rt△OBF中，利用60度的正切的定義求解．

試題解析：(1)、連結OD，如圖，∵四邊形AOCD是平行四邊形，而OA=OC， ∴四邊形AOCD是菱形，

∴△OAD和△OCD都是等邊三角形， ∴∠AOD=∠COD=60°， ∴∠FOB=60°， ∵EF為切線， ∴OD⊥EF，

∴∠FDO=90°，在△FDO和△FBO中， ∴△FDO≌△FBO， ∴∠ODF=∠OBF=90°，

∴OB⊥BF， ∴BF是⊙O的切線；

(2)、在Rt△OBF中，∵∠FOB=60°， 而tan∠FOB=， ∴BF=1×tan60°=． ∵∠E=30°，

∴EF=2BF=2．