Question

【題目】如圖，，分別以AB、AC為邊作等邊三角形ABD與等邊三角形ACE，連接BE、CD，BE的延長線與CD交于點F，連接AF，有以下四個結論：①；②FA平分；③；④．其中一定正確的結論有（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據等邊三角形的性質證出△BAE≌△DAC，可得BE=CD，從而得出①正確；

過A作AM⊥BF于M，過A作AN⊥DC于N，由△BAE≌△DAC得出∠BEA=∠ACD，由等角的補角相等得出∠AEM=∠CAN，由AAS可證△AME≌△ANC，得到AM=AN，由角平分線的判定定理得到FA平分∠EFC，從而得出②正確；

在FA上截取FG，使FG=FE，根據全等三角形的判定與性質得出△AGE≌△CFE，可得AG=CF，即可求得AF=CF+EF，從而得出④正確；

根據CF+EF=AF，CF+DF=CD，得出CD≠AF，從而得出FE≠FD，即可得出③錯誤．

∵△ABD和△ACE是等邊三角形，

∴∠BAD=∠EAC=60°，AE=AC=EC．

∵∠BAE+∠DAE=60°，∠CAD+∠DAE=60°，

∴∠BAE=∠DAC，

在△BAE和△DAC中，

∵，

∴△BAE≌△DAC（SAS），

∴BE=CD，①正確；

過A作AM⊥BF于M，過A作AN⊥DC于N，如圖1．

∵△BAE≌△DAC，

∴∠BEA=∠ACD，

∴∠AEM=∠ACN．

∵AM⊥BF，AN⊥DC，

∴∠AME=∠ANC．

在△AME和△ANC中，∵∠AEM=∠CAN，∠AME=∠ANC，AE=AC，

∴△AME≌△ANC，

∴AM=AN．

∵AM⊥BF，AN⊥DC，AM=AN，FA平分∠EFC，②正確；

在FA上截取FG，使FG=FE，如圖2．

∵∠BEA=∠ACD，∠BEA+∠AEF=180°，

∴∠AEF+∠ACD=180°，

∴∠EAC+∠EFC=180°．

∵∠EAC=60°，

∴∠EFC=120°．

∵FA平分∠EFC，

∴∠EFA=∠CFA=60°．

∵EF=FG，∠EFA=60°，

∴△EFG是等邊三角形，

∴EF=EG．

∵∠AEG+∠CEG=60°，∠CEG+∠CEF=60°，

∴∠AEG=∠CEF，

在△AGE和△CFE中，

∵，

∴△AGE≌△CFE（SAS），

∴AG=CF．

∵AF=AG+FG，

∴AF=CF+EF，④正確；

∵CF+EF=AF，CF+DF=CD，CD≠AF，

∴FE≠FD，③錯誤，

∴正確的結論有3個．

故選C．