Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知A、B兩點的坐標分別為（﹣4，0）、（4，0），C（m，0）是線段AB上一動點（與A、B兩點不重合），拋物線l1：y=ax2+b1x+c1（a＞0）經過點A、C，頂點為D，拋物線l2：y=ax2+b2x+c2（a＞0）經過點C、B，頂點為E，直線AD、BE相交于F．

（1）若a=，m=﹣1，求拋物線l1、l2的解析式；

（2）若a=1，∠AFB=90°，求m的值；

（3）如圖2，連接DC、EC，記△DAC的面積為S1，△ECB的面積為S2，△FAB的面積為S，問是否存在點C使得2S1S2=aS，若存在，請求出C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）L1解析式為y=x2+x+2；L2解析式為y=x2﹣x﹣2；（2）m=±2；（3）C（2，0）或（﹣2，0）.

【解析】

（1）利用待定系數法，將A，B，C的坐標代入解析式即可求得二次函數的解析式；

（2）過點D作DG⊥x軸于點G，過點E作EH⊥x軸于點H，易證△ADG～△EBH，根據相似三角形對應邊比例相等即可解題；

（3）構建一次函數，利用方程組求出點F坐標，再根據2S1S2=aS，構建方程求出m即可解決問題；

解：（1）解：（1）將A、C點帶入y=ax2+b1x+c1中，可得：，解得：，

∴拋物線L1解析式為y=x2++2；

同理可得：，解得：，

∴拋物線L2解析式為y=x2﹣x﹣2；

（2）如圖，過點D作DG⊥x軸于點G，過點E作EH⊥x軸于點H，

由題意得：，解得：，

∴拋物線L1解析式為y=x2+（4﹣m）x﹣4m；

∴點D坐標為（，﹣），

∴DG=，AG=；

同理可得：拋物線L2解析式為y=x2﹣（m+4）x+4m；

∴EH=，BH=，

∵AF⊥BF，DG⊥x軸，EH⊥x軸，

∴∠AFB=∠AGD=∠EHB=90°，

∵∠DAG+∠ADG=90°，∠DAG+∠EBH=90°，

∴∠ADG=∠EBH，

∵在△ADG和△EBH中，

，

∴△ADG～△EBH，

∴，

∴=，化簡得：m2=12，

解得：m=±2；

（3）設L1：y=a（x+4）（x﹣m）=ax2+（4﹣m）ax﹣4ma，L2：y=a（x﹣4）（x﹣m）=ax2﹣（4+m）ax+4ma，

∴D（，﹣ a），E（，﹣ a），

∴直線AF的解析式為y=﹣x﹣2a（m+4），直線BF的解析式為y=﹣x+2a（m﹣4），

由，解得，

∴F（﹣m，），

∵2S1S2=aS，

∴2××（m+4）×a××（4﹣m）×=a××8×[﹣a]，

整理得：（m2﹣16）2=64，

∴m2﹣16=±8，

解得m=±2或±2（舍棄），

∴C（2，0）或（﹣2，0）；