Question

【題目】觀察下列各式
（x﹣1）（x+1）=x2﹣1，
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1，
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1，
……
（1）根據以上規律，則（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ．
（2）你能否由此歸納出一般性規律：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）= ．
（3）根據以上規律求1+3+32+…+334+335的結果

Answer 1

【答案】
（1）x7﹣1
（2）xn+1﹣1
（3）原式= （3﹣1）（1+3+32+…+334+335）=
【解析】解：（1）根據題意得：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x7﹣1；
（ 2 ）根據題意得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）=xn+1﹣1；
(1)認真觀察三個等式，可發現它們的共同特征是：等號左邊第一個含括號的式子相同，都是(x－1)；從第二個式子開始，等號左邊第二個含括號的式子在前一個式子的基礎上依次添加了x2、x3、…，而等號右邊則依次是x3、x4、…與1的差．于是就能得到：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x7﹣1 ；
（2）認真觀察三個等式，可發現它們的共同特征是：等號左邊第一個含括號的式子相同，都是(x－1)；從第二個式子開始，等號左邊第二個含括號的式子在前一個式子的基礎上依次添加了x2、x3、…，而等號右邊則依次是x3、x4、…與1的差．于是就能得到 ：(x－1)(xn＋xn－1＋…＋x2＋x＋1)＝xn+1－1．
(3)首先把1+3+32+…+334+335變形 （3﹣1）（1+3+32+…+334+335） 為設x＝3，n＝35，根據(2)題得到的規律，可以使問題得到解決．