Question

【題目】如圖，中，是的平分線．若分別是和上的動點，則的最小值是_________．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，作點Q關于直線BD的對稱點Q′，作AM⊥BC于M，由PA+PQ=PA+PQ′，根據垂線段最短可知當A、P、Q′共線，且與AM重合時，PA+PQ的值最小，為線段AM的長，根據三角形的面積求出AM的長即可得．

如圖，作AM⊥BC于M，

因為BD平分∠ABC，所以作點Q關于直線BD的對稱點Q′，連接PQ′，

∴PQ=PQ′，

∴PA+PQ=PA+PQ′，

∴當A、P、Q′共線時，PA+PQ的值最小，

根據垂線段最短可知A、P、Q′共線且與AM重合時取得最小值，

即PA+PQ的最小值為線段AM的長，

∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，CA=4，

S△ABC=，

∴，

∴AM=，

∴PA+PQ的最小值為，

故答案為：．