Question

以原點(diǎn)O為圓心，1cm為半徑的圓分別交、軸的正半軸于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），動點(diǎn)Q從點(diǎn)B處出發(fā)，沿圓周按順時針方向勻速運(yùn)動一周，設(shè)運(yùn)動的時間為秒.

（1）如圖一，當(dāng)時，直線PQ恰好與⊙O第一次相切，連接OQ．求此時點(diǎn)Q的運(yùn)動速度（結(jié)果保留）；

（2）若點(diǎn)Q按照（1）中的速度繼續(xù)運(yùn)動.

①當(dāng)為何值時，以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形；

②在①的條件下，如果直線PQ與⊙O相交，請求出直線PQ被⊙O所截的弦長.

 

Answer 1

【答案】

（1）/秒；（2）①，或；②

【解析】

試題分析：（1）連接OQ，則OQ⊥PQ，OQ=1，OP=2，所以°，即°，再根據(jù)弧長公式即可求得弧BQ的長，從而得到點(diǎn)Q的運(yùn)動速度；

（2）①由（1）可知，當(dāng)t=1時，△OPQ為直角三角形，所以，當(dāng)Q＇與Q關(guān)于x軸對稱時，△OPQ＇為直角三角形，此時°，，，再結(jié)合當(dāng)Q＇(0，-1)或Q＇(0，1)時求解即可；

②當(dāng)或時，直線PQ與⊙O相交.作OM⊥PQ，根據(jù)等面積法及勾股定理可求得PM的長，從而求的結(jié)果.

（1）連接OQ，

則OQ⊥PQ，OQ=1，OP=2，所以°，即°，

，所以點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為/秒；

（2）①由（1）可知，當(dāng)t=1時，△OPQ為直角三角形，所以，當(dāng)Q＇與Q關(guān)于x軸對稱時，△OPQ＇為直角三角形，此時°，，，

當(dāng)Q＇(0，-1)或Q＇(0，1)時，°，此時或，

即當(dāng)，或時，△OPQ是直角三角形；

②當(dāng)或時，直線PQ與⊙O相交.作OM⊥PQ，根據(jù)等面積法可知：

PQ×OM=OQ×OP，PQ=， ，

，弦長.

考點(diǎn)：動點(diǎn)綜合題

點(diǎn)評：動點(diǎn)的綜合題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見，一般壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.