Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、BC邊上的中點，過點C作CF∥AB，交DE的延長線于F點，連接CD、BF．

（1）求證：△BDE≌△CFE；

（2）△ABC滿足什么條件時，四邊形BDCF是矩形？

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）當BC＝AC時，四邊形BDCF是矩形，理由詳見解析

【解析】

（1）由平行線的性質得出∠DBE＝∠CFE，由中點的定義得出BE＝CE，由ASA證明△BDE≌△CFE即可；

（2）先證明DE是△ABC的中位線，得出DE∥AC，證出四邊形BDCF是平行四邊形，得出AD＝CF，證出CF＝BD，得出四邊形BDCF是平行四邊形；再由等腰三角形的性質得出CD⊥AB，即可得出結論．

（1）證明：∵CF∥AB，

∴∠DBE＝∠CFE，

∵E是BC的中點，

∴BE＝CE，

在△BDE和△CFE中，

∴△BDE≌△CFE（ASA）；

（2）解：當BC＝AC時，四邊形BDCF是矩形，理由如下：

∵D、E分別是AB，BC的中點

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE∥AC，又AF∥BC，

∴四邊形BDCF是平行四邊形，

∴AD＝CF，

又BD＝AD，

∴CF＝BD，又CF∥BD，

∴四邊形BDCF是平行四邊形；

∵BC＝AC，BD＝AD，

∴CD⊥AB，即∠BDC＝90°，

∴平行四邊形BDCF是矩形．