Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB=10，AD=6，DC=8，BC=12，點E在下底邊BC上，點F在AB上．
（1）若EF平分直角梯形ABCD的周長，設BE的長為x，試用含x的代數式表示△BEF的面積；
（2）是否存在線段EF將直角梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由；
（3）若線段EF將直角梯形ABCD的周長分為1：2兩部分，將△BEF的面積記為S₁，五邊形AFECD的面積記為S₂，且S₁：S₂=K求出k的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知，得梯形周長=36，高=8，面積=72．用含x的代數式表示△BEF的面積，只需求FG即可；
（2）根據函數關系式無解，知不存在線段EF將直角梯形ABCD的周長和面積同時平分．
（3）由已知易知，線段EF將直角梯形ABCD的周長分為1：2兩部分，只能是FB+BE與FA+AD+DC+CE的比是1：2，則有k=S₁：S₂=

S1

72-S1

，要使k取最大值，只需S₁取最大值，根據S_△BEF=

1

2

BE•FG=-

2

5

x2+

36

5

x(8≤x≤12)，求出S₁取最大值

72

5

．得出k的最大值是

1

4

．

解答：解：（1）∵EF平分直角梯形ABCD的周長，BE=x，
x+BF=10-BF+6+8+12-x，
BF=18-x
由已知，得梯形周長=36，高=8，面積=72．
過點F作FG⊥BC于點G，過點A作AK⊥BC于點K，
則△BFG∽△BAK，

BF

BA

=

FG

AK

，

18-x

10

=

FG

8

，
可得FG=

4

5

(18-x）
S_△BEF=

1

2

BE•FG=-

2

5

x2+

36

5

x(8≤x≤12)（3分）

（2）不存在．（4分）
由（1）-

2

5

x2+

36

5

x=36，
整理得：（x-9）²=-9，此方程無解．（5分）
不存在線段EF將直角梯形ABCD的周長和面積同時平分．

（3）由已知易知，線段EF將直角梯形ABCD的周長分為1：2兩部分，只能是FB+BE與FA+AD+DC+CE的比是1：2．（6分）
k=S₁：S₂=

S1

72-S1

要使k取最大值，只需S₁取最大值．
與（1）同理，FG=

4

5

(12-x)S₁=

1

2

BE•FG=-

2

5

x2+

24

5

x(2≤x＜12)，
當x=6時，S₁取最大值

72

5

．此時k=

1

4

∴k的最大值是

1

4

．（8分）

點評：本題結合直角梯形的性質考查二次函數的綜合應用，注意此題三角形邊與面積，梯形周長，高，面積相互間的關系．