Question

已知：如圖，在等邊△ABC中取點P，使得PA、PB、PC的長分別為3，4，5，將線段AP以點A為旋轉中心順時針旋轉60°到線段AD，連接BD，下列結論：
①△ABD可以由△APC繞點A順時針旋轉60°得到；②點P與點D的距離為3； ③∠APB=150°；④
其中正確的結論有 （     ）

A．1個      B．2個   C．3個      D．4個

Answer 1

D.

試題分析： 連PD，如圖，
∵線段AP以點A為旋轉中心順時針旋轉60°得到線段AD，∴AD=AP，∠DAP=60°，又∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC，∴∠DAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP，∴∠DAP=∠PAC，∴△ABD可以由△APC繞點A順時針旋轉60°得到，所以①正確；
∵DA=PA，∠DAP=60°，∴△ADP為等邊三角形，∴PD=PA=3，所以②正確；
在△PBD中，PB=4，PD=3，由①得到BD=PC=5，∵3²+4²=5²，即PD²+PB²=BD²，∴△PBD為直角三角形，且∠BPD=90°，由②得∠APD=60°，∴∠APB=∠APD+∠BPD=60°+90°=150°，所以③正確；
∵△ADB≌△APC，∴S_△ADB=S_△APC，∴S_△APC+S_△APB=S_△ADB+S_△APB=S_△ADP+S_△BPD=×3²+×3×4=，所以④正確．故選D．