Question

【題目】閱讀理解：

材料．若一元二次方程 的兩根為 ，，則，．

材料．已知實數 ， 滿足 ，，且 ，求的值．

解：由題知 ， 是方程 的兩個不相等的實數根，

根據材料 得 ，，

∴．

解決問題：

（1）一元二次方程 的兩根為 ，，則 ， ．

（2）已知實數 ， 滿足 ，，且，求

的值．

（3）已知實數 ， 滿足 ，，且 ，求 的值．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）；（3）．

【解析】

（1）直接根據根與系數的關系求解；

（2）利用m、n滿足的等式，可把m、n可看作方程2x2-2x-1=0的兩實數解，則根據根與系數的關系得到m+n=1，mn=-，接著把m2n+mn2分解得到mn（m+n），然后利用整體代入的方法計算；

（3）先設t=2q，代入2q2=3q+1化簡得到t2=3t+2，根據p與t滿足的等式可把p與t（即2q）為方程x2-3x-2=0的兩實數解，則根據根與系數的關系得到p+2q=3，p2q=-2，接著利用完全平方公式變形得到p2+4q2=（p+2q）2-2p2q，然后利用整體代入的方法計算．

解（1）x1+x2=4，x1x2=-3，

故答案為：，；

（2）∵m、n滿足2m2-2m-1=0，2n2-2n-1=0，

∴m、n可看作方程2x2-2x-1=0的兩實數解，

∴m+n=1，mn=-，

∴m2n+mn2=mn（m+n）=-×1=-；

（3）設t=2q，代入2q2=3q+1化簡為t2=3t+2，

則p與t（即2q）為方程x2-3x-2=0的兩實數解，

∴p+2q=3，p2q=-2，

∴p2+4q2=（p+2q）2-2p2q=32-2×（-2）=13．