Question

【題目】如圖所示，在等邊三角形ABC中，BC=8cm，射線AG∥BC，點E從點A出發沿射線AG以1cm/s的速度運動，同時點F從點B出發沿射線BC以2cm/s的速度運動，設運動時間為t（s）．

（1）連接EF，當EF經過AC邊的中點D時，求證：四邊形AFCE是平行四邊形；

（2）填空：①當t為　　s時，四邊形ACFE是菱形；

②當t為　　s時，△ACE的面積是△ACF的面積的2倍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①8；②或．

【解析】

（1）判斷出△ADE≌△CDF得出AE＝CF，即可得出結論；

（2）①先求出AC＝BC＝8，進而判斷出AE＝CF＝AC＝8，即可得出結論；

②先判斷出△ACE和△ACF的邊AE和CF上的高相等，進而判斷出AE＝2CF，再分兩種情況，建立方程求解即可得出結論．

解：（1）如圖1．

∵AG∥BC，

∴∠EAC=∠FCA，∠AED=∠CFD．

∵EF經過AC邊的中點D，

∴AD=CD，

∴△ADE≌△CDF（AAS），

∴AE=CF．

∵AE∥FC，

∴四邊形AFCE是平行四邊形；

（2）①如圖2．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=BC=8．

∵四邊形ACFE是菱形，

∴AE=CF=AC=BC=8，且點F在BC延長線上，由運動知，AE=t，BF=2t，

∴CF=2t﹣8，t=8，將t=8代入CF=2t﹣8中，

得CF=8=AC=AE，符合題意，即：t=8秒時，四邊形ACFE是菱形．

故答案為：8；

②設平行線AG與BC的距離為h，

∴△ACE邊AE上的高為h，△ACF的邊CF上的高為h．

∵△ACE的面積是△ACF的面積的2倍，

∴AE=2CF，當點F在線段BC上時（0＜t＜4），CF=8﹣2t，AE=t，

∴t=2（8﹣2t），

∴

當點F在BC的延長線上時（t＞4），CF=2t﹣8，AE=t，

∴t=2（2t﹣8），

∴

即：t=秒或秒時，△ACE的面積是△ACF的面積的2倍．

故答案為：或．