Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD＝80cm，AB＝40cm，半徑為8cm的⊙O在矩形內且與AB、AD均相切．現有動點P從A點出發，在矩形邊上沿著A→B→C→D的方向勻速移動，當點P到達D點時停止移動；⊙O在矩形內部沿AD向右勻速平移，移動到與CD相切時立即沿原路按原速返回，當⊙O回到出發時的位置（即再次與AB相切）時停止移動．已知點P與⊙O同時開始移動，同時停止移動（即同時到達各自的終止位置）．當⊙O到達⊙O1的位置時（此時圓心O1在矩形對角線BD上），DP與⊙O1恰好相切，此時⊙O移動了（　　）cm．

A.56B.72C.56或72D.不存在

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據相同時間內速度的比等于路程的比，可得的值，根據相似三角形的性質，可得∠ADB=∠BDP，根據等腰三角形的判定，可得BP與DP的關系，根據勾股定理，可得DP的長，根據有理數的加法，可得P點移動的距離；根據相似三角形的性質，可得的長，分類討論：當⊙O首次到達⊙的位置時，當⊙O在返回途中到達⊙位置時，根據的值，可得答案．

解：存在這種情況，

設點P移動速度為v1cm/s，⊙O2移動的速度為v2cm/s，

由題意，得，

如圖②：

設直線OO1與AB交于E點，與CD交于F點，⊙O1與AD相切于G點，

若PD與⊙O1相切，切點為H，則O1G＝O1H．

易得△DO1G≌△DO1H，

∴∠ADB＝∠BDP．

∵BC∥AD，

∴∠ADB＝∠CBD

∴∠BDP＝∠CBD，

∴BP＝DP．

設BP＝xcm，則DP＝xcm，PC＝（80﹣x）cm，

在Rt△PCD中，由勾股定理，得

PC2+CD2＝PD2，即（80﹣x）2+402＝x2，

解得x＝50，

此時點P移動的距離為40+50＝90cm，

∵EF∥AD，

∴△BEO1∽△BAD，

∴，即，

EO1＝64cm，OO1＝56cm．

①當⊙O首次到達⊙O1的位置時，⊙O移動的距離為40cm，

此時點P與⊙O移動的速度比為，

∵，

∴此時PD與⊙O1不能相切；

②當⊙O在返回途中到達⊙O1位置時，⊙O移動的距離為2（80﹣16）﹣56＝72cm，

∴此時點P與⊙O移動的速度比為，

此時PD與⊙O1恰好相切，此時⊙O移動了72cm，

故選：B．