Question

（2006•邵陽）如圖，已知拋物線y=x²+1，直線y=kx+b經過點B（0，2）
（1）求b的值；
（2）將直線y=kx+b繞著點B旋轉到與x軸平行的位置時（如圖1），直線與拋物線y=x²+1相交，其中一個交點為P，求出P的坐標；
（3）將直線y=kx+b繼續繞著點B旋轉，與拋物線相交，其中一個交點為P'（如圖②），過點P'作x軸的垂線P'M，點M為垂足．是否存在這樣的點P'，使△P'BM為等邊三角形？若存在，請求出點P'的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將B點的坐標代入直線的解析式中即可得出b的值．
（2）直線繞B旋轉到與x軸平行的位置，此時直線的解析式為y=2，然后聯立拋物線的解析式即可求出交點P的坐標．
（3）如果△P′BM是等邊三角形，那么∠BP′M=60°，不難得出BP′的長正好等于P′，B兩點縱坐標差的絕對值的2倍．據此可求出P′的縱坐標，進而可根據拋物線的解析式求出P′的坐標．
解答：解：（1）∵直線y=kx+b過點B（0，2），
∴b=2．

（2）y=kx+b繞點B旋轉到與x軸平行，即y=2，
∴P（2，2）或P（-2，2），
依題意有：x²+1=2，
x=±2，
∴P（2，2）或P（-2，2）．

（3）假設存在點P'（x，y），使△P'BM為等邊三角形，
如圖，則∠BP'M=60°
P'M=yP'B=2（P'M-2）=2（y-2）
且P'M=P'B
即y=2（y-2）
y=4
又點P′在拋物線y=x²+1上
∴x²+1=4
x=±2
∴當直線y=kx+b繞點B旋轉時與拋物線y=x²+1相交，存在一個交點P′（2，4）或P′（-2，4）
使△P'BM為等邊三角形．
點評：本題主要考查一次函數解析式的確定、函數圖象的旋轉和平移、函數圖象交點、等邊三角形的判定和性質等知識以及綜合應用知識、解決問題的能力．