Question

【題目】如圖，在四邊形中,．點從點出發，沿方向勻速運動，速度為同時，點從點出發,沿方向勻速運動，速度為．過點作交于點,連接,交于點．設運動時間為．解答下列問題：

（1）當為何值時，?

（2）設五邊形的面積為， 求與的函數關系式；

（3）連接．是否存在某一時刻, 使點在的垂直平分線上，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當為時，2；（2）；（3）存在，當為時，點在的垂直平分線上．

【解析】

（1）如圖1，作輔助線，構建平行線，證明QE∥DG，得，則，得EC=3t，由BE=2EC解方程可得t的值；
（2）如圖2，作輔助線，構建兩個三角形的高線FM，FH，先證明四邊形MHCD是矩形，得MH=CD=8，HM⊥AD，證明△APF∽△BEF，列比例式可得HF=8-2t，最后利用面積差可得：y=S四邊形ABCD-S△EFB-S△ECQ，代入面積公式可得結論；
（3）如圖3，作輔助線，構建直角三角形，表示各邊的長，利用勾股定理計算PE=10，PN=6，由△APF∽△BEF，得，表示PF和EF的長，利用勾股定理計算PM、MD的長，若點F在DE的垂直平分線上，則FE=FD，列方程可得t的值．

過點作,交于點

四邊形是平行四邊形

解得：

當為時，2

過點作,交為,交為

,

四邊形是矩形

與的函數關系式是

過點作垂足為,則

若點在的垂直平分線上

則時，

當為時，點在的垂直平分線上。