Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點，點C是 的中點，弦CE⊥AB于點F，過點D的切線交EC的延長線于點G，連接AD，分別交CF、BC于點P、Q，連接AC．給出下列結(jié)論： ①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③點P是△ACQ的外心；④APAD=CQCB．
其中正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號）．

Answer 1

【答案】②③④
【解析】解：∠BAD與∠ABC不一定相等，選項①錯誤； 連接BD，如圖所示：

∵GD為圓O的切線，
∴∠GDP=∠ABD，
又AB為圓O的直徑，∴∠ADB=90°，
∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°，
∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD，
∴△APF∽△ABD，
∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，
∴∠GDP=∠GPD，
∴GP=GD，選項②正確；
∵直徑AB⊥CE，
∴A為 的中點，即 ，
又C為 的中點，∴ = ，
∴ = ，
∴∠CAP=∠ACP，
∴AP=CP，
又AB為圓O的直徑，∴∠ACQ=90°，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點，
∴P為Rt△ACQ的外心，選項③正確；
連接CD，如圖所示：

∵ = ，
∴∠B=∠CAD，
又∵∠ACQ=∠BCA，
∴△ACQ∽△BCA，
∴ ，即AC2=CQCB，
∵ = ，
∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC，
∴△ACP∽△ADC，
∴ ，即AC2=APAD，
∴APAD=CQCB，選項④正確，
則正確的選項序號有②③④．
所以答案是：②③④
【考點精析】認真審題，首先需要了解圓周角定理(頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半)，還要掌握三角形的外接圓與外心(過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．