Question

【題目】已知拋物線C1：y=﹣ x2+mx+m+ ．
（1）①無論m取何值，拋物線經過定點P；
②隨著m的取值變化，頂點M（x，y）隨之變化，y是x的函數，則其函數C2關系式為；
（2）如圖1，若該拋物線C1與x軸僅有一個公共點，請在圖1中畫出頂點M滿足的函數C2的大致圖象，平行于y軸的直線l分別交C1、C2于點A、B，若△PAB為等腰直角三角形，判斷直線l滿足的條件，并說明理由；

（3）如圖2，拋物線C1的頂點M在第二象限，交x軸于另一點C，拋物線上點M與點P之間一點D的橫坐標為﹣2，連接PD、CD、CM、DM，若S△PCD=S△MCD ， 求二次函數的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）（﹣1，0）；y=
（2）

解：∵該拋物線C1與x軸僅有一個公共點，

∴△= =0，

m2+2m+1=0，

m1=m2=﹣1，

∴拋物線C1關系式為：y=﹣ ﹣x﹣ =﹣ （x+1）2，

如圖1，拋物線C1、C2關于x軸對稱，

∵△PAB是等腰直角三角形，

∴PA=PB，PA⊥PB，

∵x軸⊥AB，

∴x軸是AB的垂直平分線，

∴BD=PD，

當直線l在頂點P的右側時， =x+1，

解得x=1，x=﹣1（不能構成三角形，舍去），

當直線l在頂點P的左側時，有 =﹣x﹣1，

解得x=﹣3、x=﹣1（不能構成三角形，舍去），

則直線l為：x=1或x=﹣3

（3）

解：如圖2，

當x=﹣2時，y=﹣ ×4﹣2m+m+ =﹣m﹣ ，

∴D（﹣2，﹣m﹣ ），

當y=0時，﹣ x2+mx+m+ =0，

x2﹣2mx﹣2m﹣1=0，

解得：x1=1，x2=2m+1，

∴P（﹣1，0），C（2m+1，0），

由（1）得：頂點M[m， （m+1）2]，

過D作DH⊥PC于H，過M作MN⊥PC于N，交CD于T，

則直線CD的解析式為：y= x﹣m﹣ ，

∴T（m，﹣ ﹣ ），

∵S△PCD=S△MCD，

則 PCDH= MTCH，

（﹣1﹣2m﹣1）（﹣m﹣ ）= [ ﹣ ]（﹣2﹣2m﹣1），

（m+1）（2m+3）=﹣ （m+1）（m+2）（2m+3），

（m+1）（2m+3）（m+4）=0，

m1=﹣1，m2=﹣ ，m3=﹣4，

∵拋物線C1的頂點M在第二象限，點D又在點M與點P之間，

∴m1=﹣1，m2=﹣ ，不符合題意，舍去，

∴m=﹣4，

∴y=﹣ x2﹣4x﹣4+ =﹣ x2﹣4x﹣ ，

則二次函數的解析式為：y=﹣ x2﹣4x﹣ ．

【解析】解：（1）①當x=﹣1時，y=﹣ ﹣m+m+ =0，
∴無論m取何值，拋物線經過定點P（﹣1，0）；
y=﹣ x2+mx+m+ =﹣ （x﹣m）2+ m2+m+ ，
頂點坐標為（m， m2+m+ ），
∵頂點M（x，y），y是x的函數，
則其函數C2關系式為：y= = （x+1）2；
所以答案是：①（﹣1，0）；②y= ；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．