Question

（2006•河北區一模）圓外切等腰梯形的底角為30°，中位線的長為8，則該圓的直徑長為

4

．

Answer 1

分析：根據題意畫出相應的圖形，過A作AM垂直于BC，根據梯形的中位線等于上下底之和的一半，由中位線的長為8求出AD+BC=16，再由梯形各邊與圓相切，利用切線長定理得到AE=AF，DE=DH，BF=BG，CG=CH，等量代換得到AB+CD=16，又梯形ABCD為等腰梯形，得到AB=CD=8，在直角三角形ABM中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，由AB求出AM的長，即為圓的直徑．

解答：解：根據題意畫出相應的圖形，過A作AM⊥BC于M點，如圖所示：

∵梯形ABCD的中位線為8，
∴AD+BC=2×8=16，
即AE+ED+BG+GC=16，
又梯形為圓的外切梯形，
∴梯形各邊與圓相切，
∴AE=AF，DE=DH，BF=BG，CG=CH，
∴AF+FB+DH+HC=16，即AB+CD=16，
又梯形ABCD為等腰梯形，
∴AB=CD=8，
在Rt△ABM中，∠B=30°，∠AMB=90°，AB=8，
則AM=

1

2

AB=4，即圓的直徑為4．
故答案為：4

點評：此題考查了切線長定理，等腰梯形的性質，含30°直角三角形的性質，以及梯形中位線定理，利用了等量代換的思想，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．