Question

如圖，一次函數y=-2x+t（t＞0）的圖象與x軸，y軸分別交于點C，D．
（1）求點C，點D的坐標；
（2）已知點P是二次函數y=-x²+3x圖象在y軸右側部分上的一個動點，若以點C，點D為直角頂點的△PCD與△OCD相似．求t的值及對應的點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）令一次函數解析式中y=0，求出對應x的值，確定出C的坐標，令x=0，求出對應y的值，確定出D的坐標即可；
（2）由（1）得出的C與D的坐標，求出OC及OD的長，在直角三角形OCD中，利用勾股定理表示出CD，以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，過P作PM⊥y軸，PN⊥x軸，如圖中紅線所示，以D為直角頂點的△PCD與△OCD相似，此時∠CDP=90°，分兩種情況考慮：當PD：DC=OC：OD=1：2時，由表示出的DC得到PD的長，根據P在二次函數圖象上，設P的坐標為（x，-x²+3x），表示出PM與MD，在直角三角形PMD中，利用勾股定理列出關系式，記作①，表示出CN，在直角三角形PCD與直角三角形PCN中，分別利用勾股定理表示出PC²，將各自的值代入得到關系式，記作②，聯立①②可得出t與x的值，進而確定出此時P的坐標；若DC：PD=OC：OD=1：2時，如圖所示，同理可以求得t與x的值，確定出此時P的坐標，綜上，得到所有滿足題意t的值及對應P的坐標．

解答：解：（1）對于一次函數y=-2x+t，
令y=0，求出x=

t

2

，令x=0，求出y=t，
∴C坐標為（

t

2

，0），D坐標為（0，t）；
（2）由（1）得：OD=t，OC=

t

2

，
在Rt△OCD中，根據勾股定理得：CD=

OD2+OC2

=

5 t

2

，
以D為直角頂點的△PCD與△OCD相似，此時∠CDP=90°，
過P作PM⊥y軸，PN⊥x軸，如圖中紅線所示：

若PD：DC=OC：OD=1：2，則PD=

5 t

4

，
設P（x，-x²+3x），
∴PM=ON=x，PN=OM=-x²+3x，MD=-x²+3x-t，
在Rt△PMD中，根據勾股定理得：PD²=PM²+MD²，
∴（

5 t

4

）²=x²+（-x²+3x-t）²，①
又CN=ON-OC=x-

t

2

，
∴在Rt△PDC與Rt△PCN中，利用勾股定理得：PC²=PD²+CD²=PN²+CN²，
∴（

5 t

4

）²+（

5 t

2

）²=（-x²+3x）²+（x-

t

2

）²，②
聯立①②解得：x=

1

2

，t=1，
∴此時P坐標為（

1

2

，

5

4

）；
若DC：PD=OC：OD=1：2時，如圖所示，同理可以求得t=1，P（2，2），
若以C為直角頂點時，△PCD與△OCD相似，此時∠DCP=90°時，同理可得t=

26

25

，P（

13

5

，

26

25

），
綜上，當t=1時，對應的P坐標為（

1

2

，

5

4

）或（2，2）或P（

13

5

，

26

25

）

點評：此題考查了二次函數的性質，一次函數與坐標軸的交點，勾股定理，相似三角形的判定與性質，以及坐標與圖形性質，利用了數形結合及分類討論的思想，是一道綜合性較強的壓軸題．